Equazione differenziale del secondo ordine non omogenea
Ciao a tutti.
Ho quest'equazione: $y''+y'= e^x/(e^x+2)$ da risolvere.
Una volta trovato l'integrale generale che risulta essere: $y=c_1+c_2e^(-x)$ devo occuparmi di trovare l'integrale dell'equazione completa.
Come posso vedere la frazione $e^x/(e^x+2)$ utilizzando il metodo della somiglianza?
Ho fatto diversi esercizi in cui $f(x)$ era un'equazione di qualsiasi grado (risolvendo ad esempio con $Ax^2+Bx+C$), oppure una somma di seni o coseni (risolvendo con $Asenx+Bcosx$), o addirittura un prodotto (esempio $10xcosx$ l'ho risolta ponendo la funzione generale di somiglianza $(Ax+B)senx+(Cx+D)cosx$) ma non so come risolvere questa frazione.
Ho provato a considerarla come $(Ae^x)/(Be^x+C)$, ma penso di aver sbagliato perchè studiando $f'(x),f''(x)$ ottengo 2 righe di derivate e mi pare strano.
Potreste aiutarmi?
Grazie anticipatamente
Ho quest'equazione: $y''+y'= e^x/(e^x+2)$ da risolvere.
Una volta trovato l'integrale generale che risulta essere: $y=c_1+c_2e^(-x)$ devo occuparmi di trovare l'integrale dell'equazione completa.
Come posso vedere la frazione $e^x/(e^x+2)$ utilizzando il metodo della somiglianza?
Ho fatto diversi esercizi in cui $f(x)$ era un'equazione di qualsiasi grado (risolvendo ad esempio con $Ax^2+Bx+C$), oppure una somma di seni o coseni (risolvendo con $Asenx+Bcosx$), o addirittura un prodotto (esempio $10xcosx$ l'ho risolta ponendo la funzione generale di somiglianza $(Ax+B)senx+(Cx+D)cosx$) ma non so come risolvere questa frazione.
Ho provato a considerarla come $(Ae^x)/(Be^x+C)$, ma penso di aver sbagliato perchè studiando $f'(x),f''(x)$ ottengo 2 righe di derivate e mi pare strano.
Potreste aiutarmi?
Grazie anticipatamente
Risposte
Non puoi usare il metodo della somiglianza in questo caso, visto che hai una frazione in cui compaiono gli esponenziali e non un prodotto. O usi la variazione delle costanti, oppure poni [tex]$y'=z$[/tex][ e trasformi la tua equazione del secondo ordine in una del primo ordine lineare.
P.S.: dovresti ridurre quella immagine!
P.S.: dovresti ridurre quella immagine!
"ciampax":
Non puoi usare il metodo della somiglianza in questo caso, visto che hai una frazione in cui compaiono gli esponenziali e non un prodotto. O usi la variazione delle costanti, oppure poni [tex]$y'=z$[/tex][ e trasformi la tua equazione del secondo ordine in una del primo ordine lineare.
P.S.: dovresti ridurre quella immagine!
potresti illustrarmi tu un procedimento?
P.S.immagine ridotta!
Quale procedimento?
"ciampax":
Quale procedimento?
quello della variazione delle costanti, ma se non è un problema!
"ciampax":
E' questo: http://it.wikipedia.org/wiki/Metodo_del ... ndo_ordine
Non lo conosci?
sì, ora ho capito qual è! purtroppo la mia docente "spiega" poco e non fa esempi. Questo metodo l'ha spiegato in 2 passaggi in seguito all'equazione di Eulero.
Ovviamente per preparare l'esame devo vedermi tutto da sola e neanche il libro di testo mostra l'applicazione del metodo.
E' questo il motivo per il quale mi avrebbe fatto piacere vedere l'esercizio svolto.
In ogni caso grazie.
Allora, vediamo un po': il metodo della variazione delle costanti ti impone di cercare una soluzione particolare della forma: [tex]$y_p(x)=C_1(x) u_1(x)+C_2(x) u_2(x)$[/tex] dove [tex]$C_1,\ C_2$[/tex] sono funzioni incognite, mentre (in questo caso) [tex]$u_1(x)=1,\ u_2(x)=e^{-x}$[/tex]. Per applicarlo devi risolvere il sistema seguente
[tex]$C'_1(x) u_1(x)+C'_2(x) u_2(x)=0,\qquad C'_1(x) u'_1(x)+C'_2(x) u'_2(x)=\frac{e^x}{e^x+2}$[/tex]
che riscritto diventa
[tex]$C'_1(x)+C'_2(x) e^{-x}=0,\qquad -C'_2(x) e^{-x}=\frac{e^x}{e^x+2}$[/tex]
Dalla seconda equazione ricavi [tex]$C_2'(x)=-\frac{e^{2x}}{e^x+2},\ C'_1(x)=\frac{e^x}{e^x+2}$[/tex], da cui
[tex]$C_2(x)=-\int\frac{e^{2x}}{e^x+2}\ dx=$[/tex] posto [tex]$e^x+2=t\ e^x\ dx=dt$[/tex]
[tex]$=-\int\frac{t-2}{t}\ dt=-t-2\log|t|=-2-e^x-2\log(e^x+2)$[/tex]
e in modo analogo
[tex]$C_1(x)=\int\frac{e^x}{e^x+2}\ dx=\log(e^x+2)$[/tex]
Pertanto la soluzione particolare risulta
[tex]$y_p(x)=\log(e^x+2)+e^{-x}\cdot\left[-2-e^x-2\log(e^x+2)\right]=(1+e^{-x})\log(e^x+2)-2e^{-x}-1$[/tex]
[tex]$C'_1(x) u_1(x)+C'_2(x) u_2(x)=0,\qquad C'_1(x) u'_1(x)+C'_2(x) u'_2(x)=\frac{e^x}{e^x+2}$[/tex]
che riscritto diventa
[tex]$C'_1(x)+C'_2(x) e^{-x}=0,\qquad -C'_2(x) e^{-x}=\frac{e^x}{e^x+2}$[/tex]
Dalla seconda equazione ricavi [tex]$C_2'(x)=-\frac{e^{2x}}{e^x+2},\ C'_1(x)=\frac{e^x}{e^x+2}$[/tex], da cui
[tex]$C_2(x)=-\int\frac{e^{2x}}{e^x+2}\ dx=$[/tex] posto [tex]$e^x+2=t\ e^x\ dx=dt$[/tex]
[tex]$=-\int\frac{t-2}{t}\ dt=-t-2\log|t|=-2-e^x-2\log(e^x+2)$[/tex]
e in modo analogo
[tex]$C_1(x)=\int\frac{e^x}{e^x+2}\ dx=\log(e^x+2)$[/tex]
Pertanto la soluzione particolare risulta
[tex]$y_p(x)=\log(e^x+2)+e^{-x}\cdot\left[-2-e^x-2\log(e^x+2)\right]=(1+e^{-x})\log(e^x+2)-2e^{-x}-1$[/tex]
sei stato/a davvero gentilissimo/a. te ne sono grata! finalmente ho una linea guida che mi permetta di capire! buona giornata!
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