Equazione differenziale del secondo ordine con metodo di somiglianza
Salve a tutti dopodomani ho l'esame e trovo problemi nelle equazioni differenziali di ordine superiore al primo con il metodo di somiglianza.
Se ho per esempio l'equazione $y'' − 4y' + 5y = xe^(2x) * sinx$
come posso applicare il metodo di somiglianza?
Cioè io ho provato ad applicarlo utilizzando in questo caso la generica soluzione
$v(x)=e^(2x)*((Ax^2 + Bx + c)cos(x)+(Dx^2 + Ex + F)sin(x))$ però non so se èla formula risolutiva corretta perchè quando calcolo le derivate ovviamente mi vengono calcoli assurdi e per questo dubito che sia la via corretta per risolvere il problema. Potete aiutarmi per darmi qualche dritta?
Se ho per esempio l'equazione $y'' − 4y' + 5y = xe^(2x) * sinx$
come posso applicare il metodo di somiglianza?
Cioè io ho provato ad applicarlo utilizzando in questo caso la generica soluzione
$v(x)=e^(2x)*((Ax^2 + Bx + c)cos(x)+(Dx^2 + Ex + F)sin(x))$ però non so se èla formula risolutiva corretta perchè quando calcolo le derivate ovviamente mi vengono calcoli assurdi e per questo dubito che sia la via corretta per risolvere il problema. Potete aiutarmi per darmi qualche dritta?
Risposte
La soluzione dell'omogenea è $y(x)=C_1 e^x+C_2 e^{3x}$, e poiché queste soluzioni non rientrano nell'espressione del termine noto, la scelta da te fatta è corretta. Solo dovrai fare un bel po' di calcoli. Osserva che puoi scrivere la tua funzione così:
$$v(x)=e^{2x}[P(x)\sin x+Q(x)\cos x]$$
dove $P(x)=Dx^2+Ex+F,\ Q(x)=Ax^2+Bx+C$ e si ha
$$v'=2v+e^{2x}[(P\cos x-Q\sin x)+(P'\sin x+Q'\cos x)]$$
$$v''=2v'+2e^{2x}[(P+Q')\cos x-(Q-P')\sin x]+e^{2x}[(-P\sin x-Q\sin x)+2P'\cos x-2Q'\sin x+P''\sin x+Q''\cos x]=\\
4v+4e^{2x}[(P+Q')\cos x-(Q-P')\sin x]-v+e^{2x}[2P'\cos x-2Q'\sin x+P''\sin x+Q''\cos x]=\\
3v+e^{2x}[(4P+4Q'+2P'+Q'')\cos x-(4Q-4P'+2Q'-P'')\sin x]$$
Ricontrolla un po' i calcoli perché gli ho fatti di fretta, ma dovrebbe venire fuori una cosa del genere.
$$v(x)=e^{2x}[P(x)\sin x+Q(x)\cos x]$$
dove $P(x)=Dx^2+Ex+F,\ Q(x)=Ax^2+Bx+C$ e si ha
$$v'=2v+e^{2x}[(P\cos x-Q\sin x)+(P'\sin x+Q'\cos x)]$$
$$v''=2v'+2e^{2x}[(P+Q')\cos x-(Q-P')\sin x]+e^{2x}[(-P\sin x-Q\sin x)+2P'\cos x-2Q'\sin x+P''\sin x+Q''\cos x]=\\
4v+4e^{2x}[(P+Q')\cos x-(Q-P')\sin x]-v+e^{2x}[2P'\cos x-2Q'\sin x+P''\sin x+Q''\cos x]=\\
3v+e^{2x}[(4P+4Q'+2P'+Q'')\cos x-(4Q-4P'+2Q'-P'')\sin x]$$
Ricontrolla un po' i calcoli perché gli ho fatti di fretta, ma dovrebbe venire fuori una cosa del genere.
"ciampax":
La soluzione dell'omogenea è $y(x)=C_1 e^x+C_2 e^{3x}$, e poiché queste soluzioni non rientrano nell'espressione del termine noto, la scelta da te fatta è corretta. Solo dovrai fare un bel po' di calcoli. Osserva che puoi scrivere la tua funzione così:
$$v(x)=e^{2x}[P(x)\sin x+Q(x)\cos x]$$
dove $P(x)=Dx^2+Ex+F,\ Q(x)=Ax^2+Bx+C$ e si ha
$$v'=2v+e^{2x}[(P\cos x-Q\sin x)+(P'\sin x+Q'\cos x)]$$
$$v''=2v'+2e^{2x}[(P+Q')\cos x-(Q-P')\sin x]+e^{2x}[(-P\sin x-Q\sin x)+2P'\cos x-2Q'\sin x+P''\sin x+Q''\cos x]=\\
4v+4e^{2x}[(P+Q')\cos x-(Q-P')\sin x]-v+e^{2x}[2P'\cos x-2Q'\sin x+P''\sin x+Q''\cos x]=\\
3v+e^{2x}[(4P+4Q'+2P'+Q'')\cos x-(4Q-4P'+2Q'-P'')\sin x]$$
Ricontrolla un po' i calcoli perché gli ho fatti di fretta, ma dovrebbe venire fuori una cosa del genere.
Ehm no aspetta. La soluzione dell'equazione omogenea non è "$2(+-)i$ e dunque $u(x)=c_(1)e^(2x)cos(x)+c_(2)e^(2x)sin(x)$ O.o?
sì,hai ragione
piccolo errore di distrazione
quindi,essendo $2+i$ soluzione dell'equazione caratteristica, la soluzione particolare sarà del tipo
$phi(x)=x[A(x)e^(2x)cosx+B(x)e^(2x)senx]$
con $A(x),B(x)$ polinomi di grado minore o uguale ad 1(che è il grado di x)
in sostanza,$phi(x)=e^(2x)[(ax^2+bx)cosx+(cx^2+dx)senx]$
piccolo errore di distrazione
quindi,essendo $2+i$ soluzione dell'equazione caratteristica, la soluzione particolare sarà del tipo
$phi(x)=x[A(x)e^(2x)cosx+B(x)e^(2x)senx]$
con $A(x),B(x)$ polinomi di grado minore o uguale ad 1(che è il grado di x)
in sostanza,$phi(x)=e^(2x)[(ax^2+bx)cosx+(cx^2+dx)senx]$
Oppppsssssssss! Sorry
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