Equazione differenziale del secondo ordine
$ {(ddoty+2y=sin(sqrt(2)x)),(doty(0)=0),(y(0)=0):} $
Dire se la soluzione esiste ed è unica.
Se la soluzione (esiste) trovare l'integrale generale e l'intervallo massimale.
E' un'equazione differenziale di secondo grado lineare a coefficienti costanti, quindi esiste 1 e 1 sola soluzione.
L'equazione dell'omogenea associata è $z^2+2=0$ da cui ricavo che la radice è isqrt(2) e la soluzione è:
$y(x)=c1cos(sqrt(2)x) +c2sin(sqrt(2)x)$.
Quindi derivo e trovo $sqrt(2)c1sin(sqrt(2)x) -sqrt(2)c2cos(sqrt(2)x)$ con c1 e c2 appartenenti ai numeri reali.
Poi impongo le condizioni iniziali e trovo che c1=0 e c2=0.
Quindi posso dire che l'omogenea ha come soluzione y(x)=0.
quindi la soluzione del sistema avrà solo la soluzione particolare.
Posso dire che una soluzione particolare è$ y(x)=Axsin(sqrt(2)x)$ con x perchè $sqrt(2)$ è soluzione dell'equazione caratteristica.
Quindi faccio le derivate e sostituisco nell'equazione di partenza per trovare A.
$doty=Asin(sqrt(2)x)+Asqrt(2)xcos(sqrt(2)x)$
$ddoty=Asqrt(2)cos(sqrt(2)x)+Asqrt(2)cos(sqrt(2)x)-2Axsin(sqrt(2)x)$
$Asqrt(2)cos(sqrt(2)x)+Asqrt(2)cos(sqrt(2)x)-2Axsin(sqrt(2)x) +2Axsin(sqrt(2)x) = sin(sqrt(2)x)$
rimane:
$Asqrt(2)cos(sqrt(2)x)+Asqrt(2)cos(sqrt(2)x) = sin(sqrt(2)x)$
Ora qui non so come andare avanti , non saprei come trasformare il seno in coseno per poi uguagliare i coefficienti e trovare A. Spero che il resto sia giusto.
Dire se la soluzione esiste ed è unica.
Se la soluzione (esiste) trovare l'integrale generale e l'intervallo massimale.
E' un'equazione differenziale di secondo grado lineare a coefficienti costanti, quindi esiste 1 e 1 sola soluzione.
L'equazione dell'omogenea associata è $z^2+2=0$ da cui ricavo che la radice è isqrt(2) e la soluzione è:
$y(x)=c1cos(sqrt(2)x) +c2sin(sqrt(2)x)$.
Quindi derivo e trovo $sqrt(2)c1sin(sqrt(2)x) -sqrt(2)c2cos(sqrt(2)x)$ con c1 e c2 appartenenti ai numeri reali.
Poi impongo le condizioni iniziali e trovo che c1=0 e c2=0.
Quindi posso dire che l'omogenea ha come soluzione y(x)=0.
quindi la soluzione del sistema avrà solo la soluzione particolare.
Posso dire che una soluzione particolare è$ y(x)=Axsin(sqrt(2)x)$ con x perchè $sqrt(2)$ è soluzione dell'equazione caratteristica.
Quindi faccio le derivate e sostituisco nell'equazione di partenza per trovare A.
$doty=Asin(sqrt(2)x)+Asqrt(2)xcos(sqrt(2)x)$
$ddoty=Asqrt(2)cos(sqrt(2)x)+Asqrt(2)cos(sqrt(2)x)-2Axsin(sqrt(2)x)$
$Asqrt(2)cos(sqrt(2)x)+Asqrt(2)cos(sqrt(2)x)-2Axsin(sqrt(2)x) +2Axsin(sqrt(2)x) = sin(sqrt(2)x)$
rimane:
$Asqrt(2)cos(sqrt(2)x)+Asqrt(2)cos(sqrt(2)x) = sin(sqrt(2)x)$
Ora qui non so come andare avanti , non saprei come trasformare il seno in coseno per poi uguagliare i coefficienti e trovare A. Spero che il resto sia giusto.
Risposte
Ciao. Ci sono alcuni errori in ciò che hai scritto. Li elenco: (1) la derivata prima è sbagliata, hai commesso qualche errore nei calcoli; (2) hai detto che è di secondo grado non vedo la derivata seconda; (3) una volta calcolate le soluzioni dell'omogenea (cioè in questo caso due soluzioni lin. indip) devi calcolare un integrale particolare del termine noto, quindi tu stai cercando una soluzione $y(x)$ del tipo $y(x)=P(x)cos(sqrt(2)x)+Q(x)sen(sqrt(2)x)$, una volta fatto ciò passi a verificare le condizioni iniziali.
Comincia a correggere questi errori e poi se hai problemi posta il tuo procedimento
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