Equazione differenziale del secondo ordine

[squalllionheart]

Scusate l'equazione è del tutto banale ma vorrei una speigazione approfondita dato che sui libri di testo non c'è nulla in merito:
$\{(y''(t)=cos omega t), (y'(0)=0), (y(0)=0):}$
La soluzione me la sono calcolata a mano in modo intuitivo, ma in modo più rigoroso come avrei potuto fare?

[Gi81]

Parti da $y''(t)=cos(omegat)$ e integri entrambi i membri: $y'(t)=1/omega*sin(omegat)+c_1$
Sai che $y'(0)=0$, dunque $0=0+c_1=> c_1= 0$, pertanto l'equazione diventa $y'(t)=1/omega *sin(omegat)$

A questo punto integri ancora, trovi quanto vale l'altra costante e hai la tua soluzione

[squalllionheart]

Risolto, ho posto $y''(t)=c'(t)$ viene a variabili separabili due volte...
Grazie a tutti cmq

[squalllionheart]

Gi8 si può fare anche come dici tu, grazie. due metodi sono meglio di uno.

[gugo82]

Una EDO del tipo:

(*) [tex]$y^{(n)}(t)=f(t)$[/tex]

(con [tex]$f\in C(\mathbb{R})$[/tex], per semplicità) individua le primitive [tex]$n$[/tex]-esime della funzione [tex]$f$[/tex]; trovare una formula chiusa per tali funzioni non è affatto difficile, poiché basta ragionare induttivamente.

Invero, fissato un punto [tex]$t_0$[/tex], se [tex]$n=1$[/tex] in (*) risulta:

(1) [tex]$y(t)=y_0+\int_{t_0}^t f(\tau )\text{d} \tau$[/tex],

ove [tex]$y_0=y(t_0)$[/tex] (questo è il teorema fondamentale del Calcolo Integrale).
Se [tex]$n=2$[/tex] in (*), integrando una prima volta con [tex]$y_1=y^\prime(t_0)$[/tex], si ha:

[tex]$y^\prime (t)-y_1=y^{\prime} (t)-y^\prime (t_0) =\int_{t_0}^t y^{\prime \prime}(\tau)\text{d} \tau =\int_{t_0}^t f(\tau)\text{d} \tau$[/tex]

quindi, integrando nuovamente e ponendo [tex]$y_0$[/tex] come sopra:

[tex]$y(t)-y_0=\int_{t_0}^t y^{\prime} (\tau)\text{d} \tau=y_1(t-t_0)+\int_{t_0}^t \left\{ \int_{t_0}^\tau f(\theta)\text{d}\theta\right\}\text{d}\theta$[/tex];

ora l'integrale al terzo membro si calcola per parti con fattore differenziale [tex]$1\text{d}\tau$[/tex] al seguente modo:

[tex]$\int_{t_0}^t \left\{ \int_{t_0}^\tau f(\theta)\text{d}\theta\right\}\text{d}\theta = \left[ \tau \int_{t_0}^\tau f(\theta)\text{d}\theta \right]_{t_0}^t -\int_{t_0}^t \tau f(\tau)\text{d} \tau$[/tex]
[tex]$=t\int_{t_0}^t f(\tau)\text{d} \tau -\int_{t_0}^t \tau f(\tau)\text{d} \tau$[/tex]
[tex]$=\int_{t_0}^t (t-\tau) f(\tau)\text{d} \tau$[/tex],

ergo si ottiene:

(2) [tex]$y(t)=y_0+y_1(t-t_0)+\int_{t_0}^t (t-\tau) f(\tau)\text{d}\tau$[/tex].

Per [tex]$n=3$[/tex], integrando tre volte (*), ponendo [tex]$y_2=y^{\prime \prime}(t_0)$[/tex], [tex]$y_1,y_0$[/tex] come sopra e tenendo presente l'integrazione per parti effettuata in precedenza, si ottiene:

[tex]$y (t)=y_0+y_1(t-t_0)+y_2\frac{(t-t_0)^2}{2}+\int_{t_0}^t \left\{ \int_{t_0}^\tau \left[ \int_{t_0}^\theta f(\eta)\text{d} \eta \right] \text{d}\theta \right\} \text{d}\tau$[/tex];

integrando due volte per parti l'integrale al secondo membro con fattori differenziali [tex]$1\text{d}\tau$[/tex] e [tex]$(t-\tau)\text{d} \tau$[/tex] si trova:

[tex]$\int_{t_0}^t \left\{ \int_{t_0}^\tau \left[ \int_{t_0}^\theta f(\eta)\text{d} \eta \right] \text{d}\theta \right\} \text{d}\tau = \left[ \tau \int_{t_0}^\tau \left\{ \int_{t_0}^\theta f(\eta)\text{d} \eta \right\} \text{d}\theta \right]_{t_0}^t - \int_{t_0}^t \tau \left\{ \int_{t_0}^\tau f(\theta)\text{d} \theta \right\} \text{d} \tau$[/tex]
[tex]$=\int_{t_0}^t (t-\tau) \left\{ \int_{t_0}^\tau f(\theta) \text{d} \theta\right\} \text{d} \tau$[/tex]
[tex]$=\left[ -\frac{(t-\tau)^2}{2} \int_{t_0}^\tau f(\theta) \text{d} \theta \right]_{t_0}^t +\int_{t_0}^t \frac{(t-\tau)^2}{2} f(\tau) \text{d} \tau$[/tex]
[tex]$=\int_{t_0}^t \frac{(t-\tau)^2}{2} f(\tau)\text{d} \tau$[/tex],

quindi per [tex]$y$[/tex] si ha l'espressione esplicita:

(3) [tex]$y(t)=y_0+y_1(t-t_0)+y_2\frac{(t-t_0)^2}{2}+\int_{t_0}^t \frac{(t-\tau)^2}{2} f(\tau)\text{d} \tau$[/tex]...

A questo punto, confrontando le (1)-(3) non è difficile indovinare che, per un generico [tex]$n\in \mathbb{N}$[/tex], l'espressione esplicita della soluzione dell'equazione (*) è del tipo:

(n) [tex]$y(t)=\sum_{k=0}^{n-1} y_k \frac{(t-t_0)^k}{k!} + \int_{t_0}^t \frac{(t-\tau)^{n-1}}{(n-1)!} f(\tau) \text{d} \tau$[/tex],

ove [tex]$y_k:=y^{(k)}(t_0)$[/tex].
Come si soleva dire tempo fa: lascio allo studioso lettore dimostrare (per induzione) la validità della (n).

[squalllionheart]

Gugo che generalizza ;p Grazie Mi faccio una bella stampata e me lo tengo da parte, ormai sono onnipresenti le EDO.