Equazione differenziale del secondo ordine

[ebol]

Ciao a tutti; stavo facendo esercizi su eq. diff. e mi sono imbattuto in:
y"+9y=-18 $cos^2 x$
(del tipo non omogeneo dunque y"+ay'+b=f(x) con f(x) "quasi-polinomio")
dopo aver trovato la soluz dell'eq. omogenea associata, ho un dubbio su come procedere per esprimere f(x)=$cos^2 x
non riesco a trovare un modo per esprimere (cosx)^2 come un exponenziale per un certo polinomio (o del tipo [P(x) cos(ax) + Q(x) sen(ax)] ecc ecc ecc.) e quindi in sostanza non trovo una soluzione dell'equaz.
qualche suggerimento/dritta? (non pretendo mica che me la risolviate )
grazie

[ebol]

Pensavo: y"+9y=-18 $(cos^2$x)
risolvo l'eq.omogenea ottenendo una soluzione del tipo $y_0$ = A $e^(3i)$ + B $e^(-3i)$
Poi utilizzo le formule di Eulero:

cosx= ($e^(ix)+e^(-ix)$)/2 ;

elevo al quadrato per ottenere $cos^2$x = $1/4$$e^(2ix)+1/4$ $e^(-2ix)$ +$1/2

riscrivo l'eq.diff. come y"+9y=-- $9/2$$e^(2ix)-9/2$ $e^(-2ix)$ - 9
quindi otterrò per linearità 3 soluzioni:
$y_1=C_1 e^(2ix)
$y_2=C_2 e^(-2ix)
$y_3=C_3
(derivando al secondo ordine) e sostituendo nell'eq. trovo che
$C_1=C_2=-9/10
$C_3=-1

Quindi la soluzione dovrebbe essere:

y=A $e^(3i)$ + B $e^(-3i)$ -9/10 ($e^(2ix)+e^(-2ix)$) -1

dalla quale posso risolvere il problema di Cauchy : y(0) = -1 ; y'(0) = 0
trovando che A=B=$9/10

Che ne dite? regge?
pensavo però che mancando il termine al prim'ordine dell'equazione forse si può raggiungere subito ad una soluzione senza rurri questi calcoli...

Fatemi sapere
Luca

[Fioravante Patrone1]

Ma il secondo membro è un "quasi polinomio" come lo chiami tu.

$cos^2 x = (1 + cos 2x)/2$

e quindi puoi usare le formule che citavi nel primo post

[ebol]

Si, giusto! stamattina mentre ne discutevo on un collega mi son ricordato che si può usare una semplice formula di bisezione, e l'ho svolto con quello. Grazie di tutto come al solito tendo a complicarmi le cose!
Ciao a presto!
(ma sec voi il metodo che ho usato all'inizio è giusto ugualmente?)

[ViciousGoblin]

(ma sec voi il metodo che ho usato all'inizio è giusto ugualmente?)

Certo che è giusto. Se ci fa caso, nei passaggi che hai fatto, hai trovato esattamente
la formula $\cos^2(x)=(1+\cos(2x))/2$ in versione complessa.

[ebol]

Si hai ragione.
infatti $e^2ix + e^-2ix = 2 cos2x
e $9/5 = 2*9/10
è proprio la costante che si trova procedendo dopo aver utilizzato la formula di bisezione! e si ottiene infatti la stessa soluzione.
Davvero grazie per le risposte la prox volta spero di disturbarvi con qualche dubbio più "corposo"
Ciao!
Luca