Equazione differenziale del secondo ordine

[fabiett1]

Ciao a tutti! Sto avendo alcuni problemi con questa equazione differenziale: $y''+y'=xcos$.

Dopo aver risolto l'equazione caratteristica ho determinato l'equazione omogenea $y(x)o=c1cos(x)+c2sin(x)$.

Successivamente, ho determinato l'equazione particolare considerando che $i$ è soluzione di molteplicità 1 dell'equazione caratteristica $x(ax+b)cos(x)+axsin(x)$.

Tuttavia, svolgendo i calcoli fino alla derivata seconda e sostituendo nell'equazione di partenza non trovo il risultato. Per caso è sbagliato il procedimento?

[Ziben]

Ciao,
L'omogenea è sbagliata. Infatti il polinomio caratteristico è:
$\lambda^2+\lambda=0$ le cui soluzioni sono $\lambda=0$ e $\lambda=-1$ per cui l'omogenea è:
$y_o(x)=c_1+c_2e^(-x)$
Per il calcolo della soluzione particolare sbagli impostazione;
Prova con $(Ax+B)cosx+(Cx+D)sinx$

[fabiett1]

Ne approfitto per chiederti un chiarimento... Come faccio distinguo i casi in cui devo scrivere un polinomio del tipo $(Ax+B)$ e quando non devo?

[Ziben]

io faccio, di solito, così (stiamo parlando di soluzioni particolari):
Se il termine noto è un polinomio allora cerco un polinomio di pari grado o superiore se non funziona il primo.
Se il termine noto contiene $sin$ e $cos$ cerco una soluzione in $sin$ e $cos$, moltiplicandole per un polinomio se sono soluzioni dell'omogenea e se sono già moltiplicate per un polinomio: per esempio in questo caso il $cos$ non è soluzione dell'omogenea ma è moltiplicato per $x$ e allora moltiplico per $Ax+B$.
Lo stesso se ci sono esponenziali.
Ti consiglio però di consultare un testo per avere indicazioni più rigorose