Equazione differenziale del secondo ordine

[gcan]

$ Y''+5y'=0 $
Le condizioni di cauchy sono: $ Y(0)= 6 $ , $ Y'(0)=-25 $
Facendo tutti i passaggi ho trovato che c1=-1 e c2= 5
Quindi ho la funzione $ Y=-1+5e^(-15) $
Ora l'esercizio vuole:
$ ln((y(-3)-1)/5) $
È il risultato dovrebbe essere 15, ma non riesco a trovarlo!
Potete aiutarmi? Grazie in anticipo

[Paolo902]

"Giugiu93":
Quindi ho la funzione $ Y=-1+5e^(-15) $

Questa non è una funzione, o meglio è una funzione costante che certamente non è soluzione del problema di Cauchy (in quanto non soddisfa i dati iniziali). Mi sa che ti sei perso/a qualche $x$ per strada. Posta un po' i tuoi conti.

[gcan]

$ lambda 1=0, lambda2=-5 $
Y=c1+c2e^(-5x)+ax+b
Con le derivate trovo che a=0
Allora con le condizioni c1=-1 e c2=-1
Giusto?

[Brancaleone1]

"Giugiu93":$ Y''+5y'=0 $
Le condizioni di cauchy sono: $ Y(0)= 6 $ , $ Y'(0)=-25 $
Facendo tutti i passaggi ho trovato che c1=-1 e c2= 5
Quindi ho la funzione $ Y=-1+5e^(-15) $
Ora l'esercizio vuole:
$ ln((y(-3)-1)/5) $
È il risultato dovrebbe essere 15, ma non riesco a trovarlo!
Potete aiutarmi? Grazie in anticipo

Per quanto mi sia sforzato io non ho trovato congruenza tra l'integrale e il risultato del logaritmo.

Se è vero che

$ln((y(-3)-1)/5)=15$

allora è evidente che

$=>y(-3)=5e^15+1$

Ma svolgendo il problema di Cauchy:

${ ( y''(x)+5y(x)=0 ),( y(0)=6 ),( y'(0)=-25 ):}$

$lambda^2+5=0$

Il discriminante è ovviamente negativo, quindi la soluzione è della forma $y(x)=e^(alpha x)(c_1cos(beta x)+c_2sin(beta x))$:

$lambda_(1,2)=(0 pm i sqrt20)/2=>alpha=0, beta=sqrt(20)/2=sqrt5$

$=>y(x)=c_1cos(sqrt5 x)+c_2sin(sqrt5 x)$

la cui derivata prima è

$y'(x)=-sqrt5 (c_1 sin(sqrt5x)-c_2 cos(sqrt5x))$

Introducendo le condizioni iniziali:

${ ( y(0)=c_1cos(sqrt5 cdot 0)+c_2sin(sqrt5 cdot 0)=6 ),( y'(0)=-sqrt5 (c_1 sin(sqrt5 cdot 0)-c_2 cos(sqrt5 cdot 0))=-25 ):}$

$=>{ ( c_1=6 ),( c_2=-5sqrt5 ):}$

quindi l'integrale è

$=>y(x)=6cos(sqrt5 x)-5sqrt5sin(sqrt5 x)$

dove sostituendo $x=-3$:

$y(-3)=6cos(sqrt5 cdot(-3)-5sqrt5sin(sqrt5 cdot(-3)) approx 10.076 ne 5e^15+1$

e di conseguenza il logaritmo fa

$ln((y(-3)-1)/5)=ln(([6cos(sqrt5 cdot (-3))-5sqrt5sin(sqrt5 cdot (-3))]-1)/5) approx 0.596 ne 15$

EDIT: Vabbé non sono neanche più capace a leggere... non ho visto il segno di derivata prima al secondo termine...

[Paolo902]

"Giugiu93":$ lambda 1=0, lambda2=-5 $
Y=c1+c2e^(-5x)+ax+b
Con le derivate trovo che a=0
Allora con le condizioni c1=-1 e c2=-1
Giusto?

Da dove esce quel pezzo lineare $ax+b$? Stai risolvendo qualcosa di non omogeneo?
Ad ogni modo, se l'equazione è $y''+5y'=0$ allora gli autovalori sono $0,-5$ quindi la soluzione è del tipo $y(x)=c_1+c_2^{-5x}$. Ora imponi le condizioni iniziali.

[gcan]

Ok, ho risolto, grazie per la disponibilità