Equazione differenziale del primo ordine

[EnigMat]

Salve a tutti,

avrei un piccolo quesito da risolvere. Studiando l'equazione differenziale $y'=-frac{x^2e^(x-y)}{siny}$ ho ottenuto, separando le variabili, il seguente risultato

$1/2 e^x(siny-cosy)=-e^x(x^2-2x+2)$.

Come faccio ad esplicitare la y?

Mi potete aiutare?

Grazie

[Fioravante Patrone1]

Solo un piccolo commento.

Non c'è nessuna garanzia, in generale, che quando si risolve una equazione differenziale a variabili separabili sia possibile "esplicitare la $y$" mediante una qualche formula.

[gugo82]

Bisogna applicare il teorema del Dini...
Però, come dice FP, nessuno ti assicura che la funzione implicitamente definita da quell'equazione sia esprimibile in maniera elementare.


P.S.: Mi sa che al primo membro c'è un $e^y$ piuttosto che $e^x$, no?

[K.Lomax]

Mi collego a Gugo82 per dire che se a primo membro non fosse $e^y$ ma $e^x$

1)Potresti semplificarlo

2) Potresti esprimere $y=f(x)$. Infatti utilizzando le formule di prostaferesi si ha:

$siny-cosy=\sqrt{2}*sin(y-\frac{\pi}{4})$

[EnigMat]

Avete ragione. Al primo membro c'è il termine $e^y$.

[EnigMat]

Se le ipotesi del teorema del Dini fossero verificate esprimendo la derivata in forma implicita trovo di nuovo l'equazione differenziale di partenza (va bene come strumento di verifica per affermare che la funzione $F(x,y)=1/2e^y(siny-cosy)+e^x(x^2-2x+2)$ è soluzione?). L'unico problema è che non riesco a trovare uno zero della funzione soluzione $F(x,y)$, mentre la condizione che la derivata parziale $F_y \ ne 0$ l'ho verificata. Che conclusione posso trarre? Cioè posso concludere l'esercizio scrivendo che $F(x,y)$ è soluzione oppure devo specificare qualche altra cosa?

[Fioravante Patrone1]

Per garantire l'invertibilità non c'è bisogno di Dini, trattandosi della soluzione in forma implicita di una equazione differenziale a variabili separabili.

Vedi pag. 3 di:
http://www.diptem.unige.it/patrone/equa ... -utang.pdf

[EnigMat]

In questo caso è difficile a calcolare l'inversa. Ad ogni modo avrei ancora una domanda da fare. Quando una soluzione di un'equazione differenziale è scritta in forma implicita come si può verificare la correttezza del risultato non potendo procedere per "sostituzione diretta"? Scusate per la domanda ma è la prima volta che mi trovo di fronte a un problema di questo tipo. Grazie comunque per l'attenzione

[Fioravante Patrone1]

"EnigMat":va bene come strumento di verifica per affermare che la funzione $F(x,y)=1/2e^y(siny-cosy)+e^x(x^2-2x+2)$ è soluzione?

No, visto che NON E' VERO che $F(x,y)$ sia soluzione.
Come potrebbe esserlo? E' una funzione di DUE variabili.
Semmai, puoi sperare che l'equazione $F(x,y)=0$ descriva implicitamente... bla bla... Dini bla bla..



Ma veniamo alla tua ultima domanda. Tu hai trovato (una volta corretto l'errore che c'era nel tuo primo post):
$1/2 e^y(siny-cosy)=-e^x(x^2-2x+2)$


Prima un po' di semi-teoria. La quale ci dice che, data l'equazione $y' = a(x)b(y)$, la soluzione sarà data da(*):
$\phi(x) = B^{-1}(A(x) + c)$,
dove:
$B$ è una primitiva di $1/b$
$A$ è una primitiva di $a$

La "verifica" è immediata:
$\phi'(x) = \frac{1}{B'[ B^{-1}(A(x) + c) ]} \cdot A'(x) =$
$= \frac{1}{ \frac {1}{ b[ B^{-1}(A(x) + c) ]} } \cdot a(x) =$
$= b[ B^{-1}(A(x) + c) ]\cdot a(x) =$
$b(\phi(x)) \cdot a(x)$.

Ma uno può anche restare alla relazione descritta implicitamente:
$B(\phi(x)) = A(x) + c$
Facciamo la "verifica":
$B'(\phi(x)) \phi'(x) = a(x)$
ovvero:
$ \frac{1}{b(\phi(x))} \cdot \phi'(x) = a(x)$
cioè:
$ \phi'(x) = b(\phi(x)) \cdot a(x)$



Ora, tu sei arrivato alla relazione implicita e non sembra possibile trovare una espressione analitica semplice per l'inversa di $B$.
Allora puoi almeno fare la "seconda verifica" che ho descritto.
Anzi, l'unica cosa che c'è davvero da verificare è che:
$B' = 1/b$ e $A' = a$.


Vediamolo:

Hai $B(y) = 1/2 e^y (\sin y - \cos y)$ e quindi:
$B'(y) = $ (facendo i pochi calcoli) $= e^y \sin y = 1/b(y)$

E $A(x) = -e^x(x^2-2x+2)$.
Anche qui, con pochi conti, trovi che: $A'(x) = a(x)$.

Questa è l'unica "verifica" che puoi fare e che abbia senso fare, se non riesci a trovare l'inversa di $B$.



[size=75](*) La faccio breve. Dettagli e precisazioni sono nei miei appunti sulle equazioni differenziali a variabili separabili[/size]

[EnigMat]

Grazie prof. E' stato chiarissimo ed esaustivo (oltre che gentile per aver avuto la pazienza di scrivere tutti i passaggi). Finalmente ho capito!

Grazie ancora