Equazione differenziale del primo ordine

[mobley]

Vorrei sapere se il procedimento è giusto dato che su wolfram la scrittura della soluzione è improponibile.

$y(x)=(2y(x)-y)/(2x-y(x))$

Pongo $y=xz->y'=z+xz'$, da cui $z+xz'=(2xz-x)/(2x-xz)=(x(2z-1))/(x(2-z))$, cioè $z+xz'=(2z-1)/(2-z)$.

Si ha $xz'=(2z-1)/(2-z)-z=(2z-1-2z+z^2)/(2-z)=(z^2+1)/(2-z)$ da cui $z'=(z^2+1)/(2-z)\cdot1/x$.

Poi $z'/((z^2+1)/(2-z))=1/x->(z'(2-z))/(z^2+1)=1/x$ e quindi $ int (2-z)/(z^2+1) dz=int1/xdx $ .

Mi concentro sul primo:

$ int (2-z)/(z^2+1) dz=int(2-z)/((z+1)(z-1))dz=A/(z+1)+B/(z-1)=(A(z-1)+B(z+1))/((z-1)(z+1))=(Az-A+Bz+B)/((z+1)(z-1))=(z(A+B)-A+B)/((z+1)(z-1))-> { ( A+B=1 ),( -A+B=0 ):} { ( A+A=1 ),( B=A ):}{ ( A=1/2 ),( B=1/2 ):} $

Allora ho

$1/2log(z+1)-1/2log(z-1)=log(x)+c$ da cui $1/2log((z+1)/(z-1))=log(x)+c->log((z+1)/(z-1))=2log(x)+c->(z+1)/(z-1)=e^(2log(x)+c)$

Poi $z+1=e^(2log(x)+c)(z-1)->z+1=e^(2log(x)+c)z-e^(2log(x)+c)$.

Sottraggo ad ambo i membri:

$z+1-(1+e^(2log(x)+c)z)=e^(2log(x)+c)z-e^(2log(x)+c)-(1+e^(2log(x)+c)z)$
$z-e^(2log(x)+c)z=-e^(2log(x)+c)-1$

In conclusione

$z=(-e^(2log(x)+c)-1)/(1-e^(2log(x)+c))$

Poi sostituisco lo $z$ trovato in $y=xz$ e ho che $y=(-xe^(2log(x)+c)-x)/(1-e^(2log(x)+c))$

[pilloeffe]

Ciao mobley,

Non ho guardato bene tutti i conti, ma vedo diversi errori, a cominciare dal testo, che immagino sia

$y'(x)=(2y(x)-x)/(2x-y(x))$

Poi qui:

$xz'=(2z-1)/(2-z)-z=(2z-1-2z+z^2)/(2-z)=(z^2-1)/(2-z) \implies z'=(z^2-1)/(2-z)\cdot 1/x $

e quindi $int (2-z)/(z^2-1) dz=int 1/x dx $

Poi è errato il sistema della scomposizione in fratti semplici:

${ ( A+B=- 1),( -A+B=2 ):} \implies A = -3/2$ e $B = 1/2 $.

Alla fine scriverei la $z$ e quindi la $y$ in modo un po' più "umano", tenendo presente che $e^c = k$ e facendo uso della ben nota identità $e^{b ln a} = a^b$

[mobley]

Grazie pilloeffe! Allora:

1) Hai ragione, ho scritto $y$ al posto di $x$ ma su carta ho scritto bene
2) Hai ragione, ho scritto $z^2+1$ al posto di $z^2-1$ ma su carta ho scritto bene
3) Dalla correzione che mi hai fatto circa la scomposizione in fratti semplici ne deduco che non ho capito una beneamata mazza di come si opera una scomposizione in fratti semplici. Potresti spiegarmi perché hai messo $A+B=-1$ e $-A+B=2$?

[pilloeffe]

Prego!

Beh, perché deve essere

$(2-z)/((z+1)(z-1)) = (z(A+B)-A+B)/((z+1)(z-1))$

Dato che i denominatori sono uguali, perché lo siano anche i numeratori per il principio di identità dei polinomi il coefficiente $A + B$ di $z$ del secondo membro deve essere uguale a $- 1$ così si ottiene il $-z$ che compare al numeratore del primo membro, il termine noto $-A + B$ del secondo membro deve essere uguale a $2$ così si ottiene il $2$ che compare a numeratore del primo membro.

[mobley]

Tutto chiaro!