Equazione differenziale del II ordine
Ecco qua il problema
$y''+y'=1+x^3+xcos(x)+1$
Risolvere
Ora lo studio della omogenea associata mi dà
$\bar y =\lambda + \mu e^-x$
Però da qui non posso variare le costanti e nemmeno procedere per similitudine anche perchè l'assenza di una $y$ non derivata mi complica le cose...
Non so soprattuto se integrando a destra e a sinistra dell'uguale (cosa che è fattibile) mi possa ricondurre correttamente ad una equazione del I ordine
$y''+y'=1+x^3+xcos(x)+1$
Risolvere
Ora lo studio della omogenea associata mi dà
$\bar y =\lambda + \mu e^-x$
Però da qui non posso variare le costanti e nemmeno procedere per similitudine anche perchè l'assenza di una $y$ non derivata mi complica le cose...
Non so soprattuto se integrando a destra e a sinistra dell'uguale (cosa che è fattibile) mi possa ricondurre correttamente ad una equazione del I ordine
Risposte
Ciao
secondo me potresti usare il cosiddetto "metodo di sovrapposizione degli effetti"
la tua equazione [tex]y'' + y' = x^{3} +2 +x \cos{x}[/tex]
che la puoi vedere come: [tex]y'' + y' = f_{1}(x) +f_{2}(x)[/tex]
con [tex]f_{1}(x)=x^{3} +2[/tex] e [tex]f_{2}(x)=x \cos{x}[/tex]
dividi la tua equazione in due ovvero:
[tex]y'' + y' = f_{1}(x)[/tex] che ti darà una certa soluzione [tex]y_{1}(x)[/tex]
e
[tex]y'' + y' = f_{2}(x)[/tex] che ti darà una certa soluzione [tex]y_{2}(x)[/tex]
la soluzione vera e propria non è altro che la somma algebrica delle due, quindi
[tex]y(x) = y_{1}(x) + y_{2}(x)[/tex]
secondo me potresti usare il cosiddetto "metodo di sovrapposizione degli effetti"
la tua equazione [tex]y'' + y' = x^{3} +2 +x \cos{x}[/tex]
che la puoi vedere come: [tex]y'' + y' = f_{1}(x) +f_{2}(x)[/tex]
con [tex]f_{1}(x)=x^{3} +2[/tex] e [tex]f_{2}(x)=x \cos{x}[/tex]
dividi la tua equazione in due ovvero:
[tex]y'' + y' = f_{1}(x)[/tex] che ti darà una certa soluzione [tex]y_{1}(x)[/tex]
e
[tex]y'' + y' = f_{2}(x)[/tex] che ti darà una certa soluzione [tex]y_{2}(x)[/tex]
la soluzione vera e propria non è altro che la somma algebrica delle due, quindi
[tex]y(x) = y_{1}(x) + y_{2}(x)[/tex]
data $x^3 +cosx +2$
potresti trovare una soluzione particolare del tipo: $Ax^4+Bx^3+Cx^2+Dx+x(Ecosx+Fsenx)$
e da questa farti la derivata prima e seconda e sostituire alla tua equazione di partenza
potresti trovare una soluzione particolare del tipo: $Ax^4+Bx^3+Cx^2+Dx+x(Ecosx+Fsenx)$
e da questa farti la derivata prima e seconda e sostituire alla tua equazione di partenza
@Elly1991:
che è la stessa cosa che ho scritto io alla fine
che è la stessa cosa che ho scritto io alla fine
Non ti aiuta abbassare di grado l'equazione?
Tutto corretto... solo che per la parte trigonometrica dovevo impostare il problema come segue
$Axcos(x)+Bxsen(x)+Ccos(x)+Dsen(x)$
Comunque sia grazie.
$Axcos(x)+Bxsen(x)+Ccos(x)+Dsen(x)$
Comunque sia grazie.
"Boxyes":
Ecco qua il problema
$y''+y'=1+x^3+xcos(x)+1$
Risolvere
Ora lo studio della omogenea associata mi dà
$\bar y =\lambda + \mu e^-x$
Però da qui non posso variare le costanti e nemmeno procedere per similitudine anche perchè l'assenza di una $y$ non derivata mi complica le cose...
Non so soprattuto se integrando a destra e a sinistra dell'uguale (cosa che è fattibile) mi possa ricondurre correttamente ad una equazione del I ordine
Ma che stai a dì? L'equazione è lineare, quindi entrambi i metodi vanno bene? Non c'è $y$? Meglio, no? Meno cose da sostituire!
EDIT: un modo per risolverla più velocemente, proprio dall'inizio, è porre $z=y'$ così da trasformarla in una equazione del primo ordine. Una volta trovata la soluzione $z$ basta integrarla per ottenere la $y$.
"Boxyes":
Ecco qua il problema
$y''+y'=1+x^3+xcos(x)+1$
[...]
Non so soprattuto se integrando a destra e a sinistra dell'uguale (cosa che è fattibile) mi possa ricondurre correttamente ad una equazione del I ordine
Si, questo lo puoi fare, ma non integrando ambo i membri (questo ti farebbe spuntare costanti additive, complicando inutilmente le cose): ti conviene fare una posizione
\[z=y'\]
e poi risolvere in \(z\) l'equazione di primo ordine che ne deriva.
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