Equazione differenziale del II ordine

[polanski1]

Buongiorno a tutti gli utenti di questo forum frequentato da persone serie e preparate, a differenza di quanto si vede in giro anche ad altissimi livelli, in particolar modo nella gestione della res publica.
Orbene, avrei un problema da risolvere ed è la soluzione della seguente equazione differenziale del II ordine del tipo f(y,y'')=0

$y'' = 1/(a+b*y)$

ove a, b sono costanti.

Certo di un Vostro aiuto, invio cortesi saluti.

P.S. Nella risoluzione il sottoscritto si è arrestato alla definizione del seguente integrale:

$int1/(ln(a+b*y))^(1/2)dy$

[sylowww]

Credo che sbagli nel calcolo degli integrali.
Una prima integrazione fornisce:
$y'=1/b*ln|a+by|+C$
Integrando ancora (per parti) otteniamo:
$y=(by+a)/b^2ln|a+by|-y/b+Cx+D$
essendo C e D costanti da determinare in base alle condizioni iniziali.

[polanski1]

Grazie, $sylowww$ per il tempo che hai prestato alla mia questione, tuttavia ritengo improbabile che
$int1/(a+by)dx$
sia pari a
$1/b ln|a+by|+C$

Il metodo dal sottoscritto usato è il seguente:

$z(y)=y'$

$y'' = z'(y)z(y)$
quindi

$z'z= 1/(a+by)$

$z(y)dz=1/(a+by)dy$
integrando in z e y

$z^2/2=1/b*ln|a+by| + C$
ossia

$z=dy/dx=2^(1/2)(1/b*ln|a+by| + C)^(1/2)$
ossia

$dy / (2^(1/2)(1/b*ln|a+by| + C)^(1/2)) = dx$
ossia

$intdy / (2^(1/2)(1/b*ln|a+by| + C)^(1/2)) = intdx$

A questo punto accosto miseramente e accendo le 4 frecce in attesa di soccorso ...

[sylowww]

Hai ragione, scusa. Avevo letto male e risolto $y''=1/(a+bx)$. Ora provo a ripensarci e poi ti dico.

[sylowww]

Hai applicato correttamente la tecnica standard per risolvere le equazioni del tipo $y''=f(y)$.
Io sono perventuo all'integrale generale seguente che come è facile rendersi conto è identico al tuo, a parte per il fatto che tu non hai considerato il segno meno:
$ x = +-int(1/sqrt(2/bln|a+by|+c)dy)$
A questo punto non credo che si possa fare di meglio. L'integrale generale è espresso da questa equazione, espilicita rispetto a x. L'integrale che compare non è calcolabile elementarmente, quindi nell'espressione della soluzione non si può fare a meno di fare comparire una funzione integrale. L'espressione della soluzione consente comunque di trarre sufficienti informazioni sulle soluzioni, per esempio di tracciarne un grafico qualitativo.

[polanski1]

Ti ringrazio nuovamente $sylowww$.

Credo che la soluzione ricercata dovrebbe contribuire a risolvere una questione assai importante nel settore dell'Ingegneria Strutturale, di cui mi occupo.

Nel caso in cui la soluzione analitica sarà trovata, e confermi i risultati sperimentali (ma ciò dipende dalla verosimiglianza o meno del modello matematico da me adottato per la raffigurazione del problema, modello che conduce alla equazione differenziale in questione), mi obbligo a citarne la fonte e l'autore in una mia prossima pubblicazione su una rivista internazionale.

Grazie per l'attenzione ai matematici utenti del forum.