Equazione differenziale, da coordinate x,y,z a cilindriche.

[Macellaro]

Sto studiando una cosa in fisica tecnica e non riesco a dimostrare il passaggio dalle coordinate cartesiane x,y,z a quelle cilindriche. In realtà quello che accade è che la T, che indica la temperatura, ha lo stesso valore su ogni superficie di un cilindro, diciamo che è solo funzione di r.

Questa è l'equazione di partenza:
[tex]\frac {\partial^2 T}{\partial x^2} + \frac {\partial^2 T}{\partial y^2} + \frac {\partial^2 T}{\partial z^2}=0[/tex]

Ponendo [tex]x=rcos(\phi)[/tex] e [tex]y=rsin(\phi)[/tex] dovrei riuscire ad arrivare all'equazione in coordinate cilindriche, ma non ci riesco.
Qualche aiutino?

[vittorino70]

Si tratta di trasformare in coordinate cilindriche il cosiddetto "LAPLACIANO". Una tale trasformazione è già codificata e la puoi trovare sul web, in particolare, a questo indirizzo :http://it.wikipedia.org/wiki/Nabla_in_coordinate_cilindriche_e_sferiche
Se poi ti servisse anche la relativa dimostrazione, sono sicuro che interverrà qualcuno a mostrartela.

[Macellaro]

Grazie della risposta. Però io sono proprio curioso di sapere come ci si arriva, anche perchè la risposta la ho anche io sul libro

[Macellaro]

Nessuno?

[magliocurioso]

Ti invito a consultare questa dispensa:

http://phoenix87.altervista.org/php5/pr ... rators.pdf

[gugo82]

Sono contazzi brutti e zozzi, ma si fanno facilmente con regole elementari (e.g., teorema di derivazione della funzione composta e regola di Cramer).

Il passaggio di coordinate è:
\[
\begin{cases}
x=r\ \cos \phi\\
y=r\ \sin \phi\\
z=h
\end{cases}
\]
cosicché si ha:
\[
\begin{matrix}
x_r=\cos \phi & x_\phi = -r\sin \phi & x_h =0\\
y_r=\sin \phi & y_\phi = r\cos \phi & y_h =0\\
z_r=0 & z_\phi =0 & z_h= 1
\end{matrix}
\]
Usando il teorema di derivazione della funzione composta, gli operatori \(\frac{\partial}{\partial r}\), \(\frac{\partial}{\partial \phi}\) e \(\frac{\partial}{\partial h}\) si scrivono:
\[
\begin{split}
\frac{\partial}{\partial r} &= x_r\ \frac{\partial}{\partial x} + y_r\ \frac{\partial}{\partial y} + z_r\ \frac{\partial}{\partial z} \\
&= \cos \phi\ \frac{\partial}{\partial x} +\sin \phi\ \frac{\partial}{\partial y}\\
\frac{\partial}{\partial \phi} &= x_\phi\ \frac{\partial}{\partial x} +y_\phi\ \frac{\partial}{\partial y} + z_\phi\ \frac{\partial}{\partial z}\\
&= -r \sin \phi\ \frac{\partial}{\partial x}+r\cos \phi\ \frac{\partial}{\partial y}\\
\frac{\partial}{\partial h} &= x_h\ \frac{\partial}{\partial x} + y_h\ \frac{\partial}{\partial y}+ z_h\ \frac{\partial}{\partial z}\\
&= \frac{\partial}{\partial z}
\end{split}
\]
cosicché, per trovare la rappresentazione in coordinate cilindriche degli operatori \(\frac{\partial}{\partial x}\), \(\frac{\partial}{\partial y}\) e \(\frac{\partial}{\partial x}\) basta "risolvere" un sistema lineare "simbolico", cioè:
\[
\begin{cases}
\cos \phi\ \frac{\partial}{\partial x} +\sin \phi\ \frac{\partial}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial r}\\
-r \sin \phi\ \frac{\partial}{\partial x}+r\cos \phi\ \frac{\partial}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial \phi}\\
\frac{\partial}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial h}
\end{cases}
\]
in cui, ovviamente, basta risolvere le prime due equazioni.
Dato che il determinante dei coefficienti delle prime due equazioni è:
\[
\begin{vmatrix}
\cos \phi & \sin \phi \\
-r\sin \phi & r\cos \phi
\end{vmatrix} = r
\]
il sistema ha per soluzioni:
\[
\begin{split}
\frac{\partial}{\partial x} &= \frac{1}{r}\ \begin{vmatrix} \frac{\partial}{\partial r} & \sin \phi \\
\frac{\partial}{\partial \phi} & r\cos \phi
\end{vmatrix}\\
&= \cos \phi\ \frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin \phi}{r}\ \frac{\partial}{\partial \phi}\\
\frac{\partial}{\partial y} &= \frac{1}{r}\ \begin{vmatrix}
\cos \phi & \frac{\partial}{\partial r} \\
-r\sin \phi & \frac{\partial}{\partial \phi}
\end{vmatrix} \\
&= \sin \phi\ \frac{\partial}{\partial r} + \frac{\cos \phi}{r}\ \frac{\partial}{\partial \phi}\\
\frac{\partial}{\partial z} &= \frac{\partial}{\partial h}
\end{split}
\]
A questo punto, abbiamo quasi finito: infatti per sapere come agisce \(\frac{\partial^2}{\partial x^2}\) in coordinate cilindriche non dobbiamo far altro che comporre i due operatori \(\frac{\partial}{\partial x}\) espressi in coordinate.
Facendo un semplice calcolo:
\[
\begin{split}
\frac{\partial^2}{\partial x^2} &= \frac{\partial}{\partial x}\left[ \frac{\partial}{\partial x}\right]\\
&= \left( \cos \phi\ \frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin \phi}{r}\ \frac{\partial}{\partial \phi} \right) \left[ \cos \phi\ \frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin \phi}{r}\ \frac{\partial}{\partial \phi} \right] \\
&= \cos \phi\ \frac{\partial}{\partial r} \left[ \cos \phi\ \frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin \phi}{r}\ \frac{\partial}{\partial \phi} \right] - \frac{\sin \phi}{r}\ \frac{\partial}{\partial \phi} \left[ \cos \phi\ \frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin \phi}{r}\ \frac{\partial}{\partial \phi} \right]\\
&= \cos^2 \phi\ \frac{\partial^2}{\partial r^2} - \cos \phi\ \sin \phi\ \frac{\partial}{\partial r} \left[ \frac{1}{r}\ \frac{\partial}{\partial \phi}\right] - \frac{\sin \phi}{r}\ \frac{\partial}{\partial \phi} \left[ \cos \phi\ \frac{\partial}{\partial r}\right] + \frac{\sin \phi}{r^2}\ \frac{\partial}{\partial \phi } \left[ \sin \phi\ \frac{\partial}{\partial \phi}\right]\\
&= \cos^2 \phi \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{\cos \phi\ \sin \phi}{r^2}\ \frac{\partial}{\partial \phi} -\frac{\cos \phi \sin \phi}{r} \frac{\partial^2}{\partial r \partial \phi} \\
&\phantom{=} +\frac{\sin^2 \phi}{r}\ \frac{\partial }{\partial r} - \frac{\cos \phi \sin \phi}{r}\ \frac{\partial^2}{\partial r \partial \phi}\\
&\phantom{=} +\frac{\cos \phi \sin \phi}{r^2}\ \frac{\partial}{\partial \phi} + \frac{\sin^2 \phi}{r^2}\ \frac{\partial^2}{\partial \phi^2}
\end{split}
\]
ossia, riordinando rispetto agli operatori simili:
\[
\frac{\partial^2}{\partial x^2} = \cos^2 \phi\ \frac{\partial^2}{\partial r^2} - \frac{\sin 2\phi}{r}\ \frac{\partial^2}{\partial r\partial \phi} + \frac{\sin^2 \phi}{r^2}\ \frac{\partial^2 }{\partial \phi^2} + \frac{\sin^2 \phi}{r}\ \frac{\partial }{\partial r} + \frac{\sin 2\phi}{r^2}\ \frac{\partial}{\partial \phi}
\]
Con calcoli del tutto analoghi:
\[
\frac{\partial^2}{\partial y^2} = \sin^2 \phi\ \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{\sin 2\phi}{r}\ \frac{\partial^2}{\partial r\partial \phi} + \frac{\cos^2 \phi}{r^2}\ \frac{\partial^2 }{\partial \phi^2} + \frac{\cos^2 \phi}{r}\ \frac{\partial }{\partial r} - \frac{\sin 2\phi}{r^2}\ \frac{\partial}{\partial \phi}
\]
ed ovviamente:
\[
\frac{\partial^2}{\partial z^2} = \frac{\partial^2}{\partial h^2}\; .
\]
Quindi infine:
\[
\begin{split}
\Delta &= \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}\\
&= \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\ \frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\ \frac{\partial^2}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2}{\partial h^2}\\
&= \frac{1}{r}\ \frac{\partial}{\partial r} \left[ r\ \frac{\partial}{\partial r}\right] + \frac{1}{r^2}\ \frac{\partial^2}{\partial \phi^2} + \frac{\partial^2}{\partial h^2}\; .
\end{split}
\]

Comunque, continuo a domandarmi come mai gli ingegneri non siano più in grado di fare questi calcoli... Mi sembra piuttosto strana come cosa.

[Macellaro]

Grazie mille gugo82!
Una domandina però: semplificando i differenziali misti implichi che l'ordine di derivazione non è importante (nel senso che poi il risultato è lo stesso); questo perchè so in partenza che la mia funzione è continua? O c'è un qualche altro motivo, dietro?

[gugo82]

Quando si fanno questi passaggi si assume sempre un certo grado di regolarità dell'incognita.

Ma, anche se così non fosse, dato che stai risolvendo un'equazione di Laplace sai a priori che le soluzioni sono \(C^\infty\) ed addirittura analitiche (per regolarità ellittica), quindi sei a cavallo.