Equazione differenziale, condizioni su una variabile

[angus89]

Scrivere le soluzioni della seguente equazione differenziale e dire se ha soluzioni definite per ogni $t in RR$

$dx/dt=1/(1+x^2)$

con la separazione delle variabili si arriva a

$x(t)+(x(t)^3)/3=c$

Chiaramente non si riesce a scrivere esplicitamente $x(t)$, quindi bisogna determinarne il dominio.

Derivando l'identità
$x(t)+(x(t)^3)/3=c$
Con qualche messa in evidenza si ottiene
$dx/dt=1/(1+(x(t))^2)>0$
Quindi si ha che $x(t)$ è una funzione crescente, ma questo non basta per determinarne il dominio.
(non so è la prima cosa a cui ho pensato ma non porta da nessuna parte)

Daltronde fissato un qualsiasi $k \in RR$
$x(k)+(x(k)^3)/3=c$
è sempre risulubile, ovvero esiste un unico $x(k)=$ "qualcosa".
Il fatto che esista unico dipende dal grafico di
$y=x+(x^3)/3$
che è un diffeomorfismo, quindi fissato un $y$ riesco a trovare un unico $x$.

E' la prima volta che faccio questo genere di esercizio, come svolgimento può esser accettabile?

[j18eos]

Basta dimostrare che il campo vettoriale [tex]$\frac{1}{1+x^2}$[/tex] è globalmente lipschitziano!

Attenzione che assieme alla [tex]$c$[/tex] costante ci dovresti mettere anche una [tex]$t$[/tex], ovvero l'equazione implicita sarebbe [tex]$x(t)+\frac{[x(t)]^3}{3}=t+c$[/tex]!

[angus89]

"j18eos":Basta dimostrare che il campo vettoriale [tex]$\frac{1}{1+x^2}$[/tex] è globalmente lipschitziano!

si mi sembra che con questa condizione un teorema notissimo garantisce l'esistenza di una soluzione (in questo caso globale)
Ma questa è una condizione necessaria, quindi in questo caso ci va benissimo, ma non sufficiente, sbaglio?(magari se mi riesce domani provo a cercare un controesempio)

Il problema in forma più generale sarebbe

Determina per quali $t \in RR$ è definita $f(t)$, dove sappiamo
$G(f(t))=h(t)$

Ti faccio un esempio

$f(t)^2=t$
(ovvero $G$ è la funzione che eleva al quadrato e $h$ è l'identità)

In questo caso $f(t)$ è definita solo per valori di $t$ positivi, esplicitando
$f(t)=sqrt(t)$

quindi sarei interessato a dire qual'è il dominio di $f(t)$ sapendo
$G(f(t))=h(t)$

"j18eos":
Attenzione che assieme alla [tex]$c$[/tex] costante ci dovresti mettere anche una [tex]$t$[/tex], ovvero l'equazione implicita sarebbe [tex]$x(t)+\frac{[x(t)]^3}{3}=t+c$[/tex]!

Ho fatto un errore nel risolvere l'equazione?
Non me ne ero accorto...

[j18eos]

Leggi la dispensa che ho consigliato qui, t'anticipo che essendo il campo vettoriale continuo e globalmente lipschitziano si ha l'esistenza e l'unicità della soluzione; a meno del dato iniziale, per cui è una condizione sufficiente. Esempio: [tex]$\begin{cases}\dot x(t)=2\sqrt{|x(t)|}\\x(0)=0$\end{cases}[/tex] non soddisfa l'ipotesi della lipschitzianità in 0 ma esistono infinite soluzioni!

In generale il teorema di Peano assicura la sola esistenza ma non l'unicità della soluzione con la sola continuità del campo vettoriale!

Seppoi vuoi trattare le funzioni implicite è un altro discorso!