Equazione differenziale con problema nell'integrale

[Piccy1]

Ciao, facendo esercizi di analisi mi sono imbattuta in un differenziale a variabili separabili

[tex]y'(x)=x\sqrt{|y^2(x)-1|}[/tex]

ho separato le variabili e ora mi devo calcolare gli integrali da entrambe le parti.
Per l'integrale della variabile x non ho problemi, mentre per l'integrale della variabile y ho provato a fare questo ragionamento:

[tex]\int\ \frac{1}{\sqrt{|y^2-1|} {}} \, dy[/tex] (questo è l'integrale)

- tra [tex](-\infty ,-1)\cup (1,+\infty )[/tex] l'argomento del modulo è sempre positivo quindi lo posso togliere e l'integrale risulta facile da calcolare perchè è un integrale noto [tex]\ln (y+\sqrt{y^2-1} ) +c[/tex]
- tra [tex](-1,1)[/tex] l'argomento del modulo è sempre negativo quindi è come se davanti all'argomento ci fosse un meno che mi fa cambiare quindi il segno [tex]\int {\frac{1}{\sqrt{-y^2+1}}}\, dy[/tex] e anche questo risulta essere un integrale noto [tex]\arcsin (x)+c[/tex]
come ragionamento ha senso?
mi veniva poi chiesto di disegnare tutte le soluzioni al variare di [tex]y(x0)=y0[/tex], solo che non saprei come farlo.
Grazie a chiunque riesca a rispondermi

[quantunquemente]

ho fatto uno studio qualitativo (spero di non aver preso nessuna cantonata)
l'equazione ammette le due soluzioni stazionarie $y=-1;y=1$
a parte queste 2 soluzioni,per le altre c'è la condizione di sublinearità e quindi le soluzioni sono globali ed hanno derivata nulla in $x=0$,negativa per $x<0$ e positiva per $x>0$
considerato il problema di Cauchy
$ { ( y'=xsqrt|y^2-1| ),( y(0)=alpha ):} $

1) $-1 2) $alpha>1$ la funzione ha minimo assoluto in $x=0$ e tende a $+infty$ per $x rarrinfty$ ($y' rarr infty$ per $x rarrinfty$)
3$ alpha<-1$ la funzione ha minimo assoluto in $x=0$ e come asintoto orizzontale la retta $y=-1$