Equazione differenziale con problema di Cauchy

[Frostman]

Buongiorno, avrei bisogno di una mano con questo esercizio che contiene dei sottoesercizi collegati ai risultati precedenti, anche se mi pare che l'ultimo sia scollegato in quanto punto bonus.

Si consideri, al variare di $\varepsilon > 0$, il problema di Cauchy
\begin{equation*}
\begin{cases}
y'(x)=xy^2\sin x \\
y(0)=\varepsilon
\end{cases}
\end{equation*}

[*:2pwjpca2]Determinare, al variare di $\varepsilon > 0$, l’espressione della soluzione massimale[/*:m:2pwjpca2]
[*:2pwjpca2]Determinare per quali $\varepsilon > 0$ la soluzione massimale è definita su tutto $\mathbb{R}$.[/*:m:2pwjpca2]
[*:2pwjpca2]Sia $y_n(x)$ la soluzione del problema di Cauchy, con valore iniziale $\varepsilon = \frac 1 n$, per $n$ intero. Mostrare che $y_n \overset{\rightarrow}{\rightarrow}$ 0 (la successione converge uniformemente alla funzione nulla), in tutti gli intervalli compatti (da un $n$ in poi).[/*:m:2pwjpca2]
[*:2pwjpca2]Per quali $y_0 \in \mathbb{R}$ la funzione $y(x)=y_0\cos(2x)+x$ è un diffeomorfismo di $\mathbb{R}$?[/*:m:2pwjpca2][/list:u:2pwjpca2]

Per il primo punto attraverso la separazione delle variabili ho
\begin{equation*}
\int_{\varepsilon}^{y(x)}\frac{1}{y^2}dy=\int_0^x x \sin x dx \\
-\frac{1}{y(x)}+\frac 1 \varepsilon = -x\cos x |^x_0+\int_0^xdx \cos x \\
-\frac{1}{y(x)}+\frac 1 \varepsilon = -x\cos x + \sin x \\
y(x)=\frac{\varepsilon}{1+\varepsilon( x \cos x - \sin x)}
\end{equation*}

Per il primo punto ci sono, dovrebbe essere giusto. Per il secondo punto non saprei, avrei problemi per il denominatore se si annulla $\varepsilon( x \cos x - \sin x)=-1$, però come faccio a determinare il valore di $\varepsilon$? Per gli altri due punti aspetto a rispondere non vorrei servano questi risultati.

Grazie per l'attenzione!

[gugo82]

Non ho controllato i calcoli, ma se la soluzione del P.d.C. è effettivamente quella trovata, ossia:
\[
y(x)=\frac{\varepsilon}{1+\varepsilon( x \cos x - \sin x)}\; ,
\]
puoi sicuramente dire che c'è qualche problema a definire la soluzione massimale $y_\varepsilon (x)$ in tutto $RR$.

Per capire perché, osserva il denominatore, cioè $\varphi_\varepsilon (x) = 1+ \varepsilon (x cos x - sin x)$ e chiediti quali proprietà abbia (ad esempio, è continuo in $RR$?), come si comporti ai limiti del proprio dominio massimale di definizione (i.e., cosa accade a $\varphi_\varepsilon (x)$ quando $x -> +- oo$?) e quali conclusioni puoi trarre da tali informazioni applicando i teoremi sulle funzioni continue (e.g., il teorema degli zeri).
Poi, cerca di capire quali siano le conseguenze di quanto hai trovato rispetto all'insieme di definizione massimale di $y_\varepsilon (x)$.

[Frostman]

Se considero il denominatore $\varphi_\varepsilon(x)=1+\varepsilon(x\cos x- \sin x)$ la funzione è continua in quanto composizione di funzioni continue. Per quanto riguarda ai limiti del dominio, la funzione oscilla per $k\rightarrow\pm \infty$, perché $\sinx$ e $\cosx$ sono in $[-1,1]$. Da queste osservazioni, posso pensare che all'interno di $\mathbb{R}$ esisteranno degli insiemi chiusi e limitati $[a,b]$ (che non so se si riescano a definire) per cui $\varphi_\varepsilon(a)\varphi_\varepsilon(b)<0$ e dunque, per il teorema degli zeri, la funzione ammette almeno uno $0$ in tale insieme. In questo caso l'intervallo massimale su $\mathbb{R}$ è l'intervallo $(\alpha,\beta)$ che contiene lo zero, in cui la $\varphi_\varepsilon(\alpha)\varphi_\varepsilon(\beta)>0$. Può funzionare come ragionamento oppure non mi sono spiegato bene o ho trascurato qualche aspetto?

[gugo82]

"Frostman":Se considero il denominatore $\varphi_\varepsilon(x)=1+\varepsilon(x\cos x- \sin x)$ la funzione è continua in quanto composizione di funzioni continue. Per quanto riguarda ai limiti del dominio, la funzione oscilla per $k\rightarrow\pm \infty$, perché $\sinx$ e $\cosx$ sono in $[-1,1]$. Da queste osservazioni, posso pensare che all'interno di $\mathbb{R}$ esisteranno degli insiemi chiusi e limitati $[a,b]$ (che non so se si riescano a definire) per cui $\varphi_\varepsilon(a)\varphi_\varepsilon(b)<0$ e dunque, per il teorema degli zeri, la funzione ammette almeno uno $0$ in tale insieme. In questo caso l'intervallo massimale su $\mathbb{R}$ è l'intervallo $(\alpha,\beta)$ che contiene lo zero, in cui la $\varphi_\varepsilon(\alpha)\varphi_\varepsilon(\beta)>0$. Può funzionare come ragionamento oppure non mi sono spiegato bene o ho trascurato qualche aspetto?

Diciamo che l'idea è giusta, ma dovresti elaborarla meglio.
Visto che $\varphi_\varepsilon (0)=1 >0$ e dato che \(\liminf_{x \to \pm \infty} \varphi_\varepsilon(x) = -\infty\), esistono sicuramente valori $\bar(x)<0<\tilde(x)$ tali che $\varphi_\varepsilon(\bar(x)), \varphi_\varepsilon(tilde(x)) <0 $; per il teorema degli zeri esistono zeri di $\varphi_\varepsilon$ sia sul semiasse negativo, sia su quello positivo.
A questo punto, puoi chiamare $x_\varepsilon^(-)$ il più grande zero negativo di $\varphi_\varepsilon$ e con $x_\varepsilon^+$ il suo più piccolo zero positivo; poi puoi osservare che $y_\varepsilon (x)$ è definita al massimo in $]x_\varepsilon^(-) , x_\varepsilon^+[ sub RR$ ed hai finito.

[Frostman]

Sì, mi ritrovo con ciò che hai detto. Più formale rispetto a quanto ho detto io. Grazie.

Per la successione $y_n$ avrei
\begin{equation*}
y_n(x)=\frac{\frac 1n}{1 + \frac 1n (x\cos x - \sin x)}=\frac{1}{n+(x\cos x - \sin x)}
\end{equation*}

Se valutassi la convergenza puntuale, osservo che converge puntualmente a $0$ per qualsiasi valore di $x$.
\begin{equation*}
\lim_{n\rightarrow + \infty}\frac{1}{n+(x\cos x - \sin x)}=0
\end{equation*}

Per la convergenza uniforme, in teoria non dovrebbe bastarmi che la funzione a cui converge puntualmente è continua e la successione di funzioni è continua nei compatti contenuti nell'insieme definito al punto precedente?