Equazione differenziale con più soluzioni
Ciao,
sto vedendo le equazioni differenziali. Oggi il professore ne ha proposta una in particolare :
$ (y'-y)(y'-2)=0 $ che ha come soluzioni due famiglie di funzioni distinte : $ y = ce^x $ e $ y = 2x + c $.
Non mi è chiaro però se mi trovassi con un caso del genere in un problema di fisica concreto per esempio, come saprei quale famiglia di soluzioni scegliere?
Grazie mille
sto vedendo le equazioni differenziali. Oggi il professore ne ha proposta una in particolare :
$ (y'-y)(y'-2)=0 $ che ha come soluzioni due famiglie di funzioni distinte : $ y = ce^x $ e $ y = 2x + c $.
Non mi è chiaro però se mi trovassi con un caso del genere in un problema di fisica concreto per esempio, come saprei quale famiglia di soluzioni scegliere?
Grazie mille
Risposte
Beh, il problema non sarebbe troppo ben posto... Uno, in Fisica, si aspetta (almeno nei casi di ordinaria amministrazione) unicità della soluzione.
Quindi in realtà nella fisica o nell'ingegneria (il mio campo) un' equazione del genere non dovrei trovarla? In questo caso quindi è puramente una questione "matematica" senza applicazione concreta? Lo chiedo in particolare perché, almeno nella matematica vista fino ad ora, è stata poi sempre applicata a problemi concreti..
Esistono le condizioni al contorno, in generale in Fisica e in Matematica (gugo82 puoi confermare ? ) un'equazione del tipo che hai proposto senza tali condizioni ha poco senso. 
( in realtà vorrei dire che è priva di significato, ma mi trattengo 
) Bisogna inoltre definire anche il dominio dove è richiesta l'esistenza della soluzione, mi sembra una richiesta ragionevole.
( in realtà vorrei dire che è priva di significato, ma mi trattengo ) Bisogna inoltre definire anche il dominio dove è richiesta l'esistenza della soluzione, mi sembra una richiesta ragionevole.
Aggiungo che non e' neanche in forma normale. Tipicamente per dire qualcosa a livello generale uno deve avere (sistemi di) equazioni della forma $y'=f(t,y)$.
Chiarissimi come sempre.
Vi ringrazio per la spiegazione.
Vi ringrazio per la spiegazione.
Secondo me la bravura del fisico o dell'ingegnere sta proprio nell'interpretazione dei risultati. Per esempio, potresti aver scritto un modello che però non ti fornisce una soluzione unica, ma due. Sta a te capire se il modello era sbagliato, o i conti erano sbagliati, oppure se una delle due soluzioni "non è fisica" ("is unphysical") e quindi la devi scartare.
Del resto è una cosa che si fa da sempre. Prendi il tipico esercizio di fisica 1: calcolare dove atterra il proiettile sparato da un cannone di cui conosci l'inclinazione. La soluzione passa per la risoluzione di una equazione di secondo grado che però ha due soluzioni, solo che una è negativa, quindi non è fisica, e si butta.
Nella fisica teorica si è arrivati a fare cose matematicamente assurde: per intenderci, è come dividere per zero, però ottenendo risultati che si sono rivelati corretti in laboratorio. E quindi è toccato mettere mani alla matematica per capire dove stesse il busillis, e ci sono generazioni di fisici e matematici al lavoro su questo. (Altre volte si sono fatte cose matematicamente assurde ottenendo risultati fisicamente assurdi, come i famosi neutrini che viaggiavano più veloce della luce).
Del resto è una cosa che si fa da sempre. Prendi il tipico esercizio di fisica 1: calcolare dove atterra il proiettile sparato da un cannone di cui conosci l'inclinazione. La soluzione passa per la risoluzione di una equazione di secondo grado che però ha due soluzioni, solo che una è negativa, quindi non è fisica, e si butta.
Nella fisica teorica si è arrivati a fare cose matematicamente assurde: per intenderci, è come dividere per zero, però ottenendo risultati che si sono rivelati corretti in laboratorio. E quindi è toccato mettere mani alla matematica per capire dove stesse il busillis, e ci sono generazioni di fisici e matematici al lavoro su questo. (Altre volte si sono fatte cose matematicamente assurde ottenendo risultati fisicamente assurdi, come i famosi neutrini che viaggiavano più veloce della luce).
Del tutto d'accordo con te. Grazie per la riflessione.
[ot]@dissonance
wow a volte la tua erudizione mi stupisce davvero!
posso chiedere di cosa ti occupi?[/ot]
"dissonance":
Nella fisica teorica si è arrivati a fare cose matematicamente assurde: per intenderci, è come dividere per zero, però ottenendo risultati che si sono rivelati corretti in laboratorio. E quindi è toccato mettere mani alla matematica per capire dove stesse il busillis, e ci sono generazioni di fisici e matematici al lavoro su questo.
wow a volte la tua erudizione mi stupisce davvero!
posso chiedere di cosa ti occupi?[/ot]
"dissonance":
bla bla bla (vedi sotto)
Facendo un po' il verso ad andrea294, direi che sono ben poco d'accordo con te. Almeno per questa volta...
Vediamo "punto per punto".
"dissonance":
Secondo me la bravura del fisico o dell'ingegnere sta proprio nell'interpretazione dei risultati. Per esempio, potresti aver scritto un modello che però non ti fornisce una soluzione unica, ma due. Sta a te capire se il modello era sbagliato, o i conti erano sbagliati, oppure se una delle due soluzioni "non è fisica" ("is unphysical") e quindi la devi scartare.
Oppure le soluzioni sono "davvero" due! Intendo: tutte e due del tutto "sensate". Perché no?
"dissonance":
Del resto è una cosa che si fa da sempre. Prendi il tipico esercizio di fisica 1: calcolare dove atterra il proiettile sparato da un cannone di cui conosci l'inclinazione. La soluzione passa per la risoluzione di una equazione di secondo grado che però ha due soluzioni, solo che una è negativa, quindi non è fisica, e si butta.
Naaah! Che schifo!
Il corretto modello del proiettile NON è una equazione di secondo grado, ma un SISTEMA costituito dall'equazione di secondo grado e da una disequazione.
Non si può scherzare su queste cose. O si è nel mondo "delle interpretazioni" o si è "in matematica". Una volta che ho scritto il modello matematico non posso farci entrare dentro "considerazioni fisiche", sennò faccio solo un minestrone immangiabile
"dissonance":
Nella fisica teorica si è arrivati a fare cose matematicamente assurde: per intenderci, è come dividere per zero, però ottenendo risultati che si sono rivelati corretti in laboratorio. E quindi è toccato mettere mani alla matematica per capire dove stesse il busillis, e ci sono generazioni di fisici e matematici al lavoro su questo. (Altre volte si sono fatte cose matematicamente assurde ottenendo risultati fisicamente assurdi, come i famosi neutrini che viaggiavano più veloce della luce).
Su questo nulla da dire. La scienza procede anche grazie a questi "sbandamenti". Mi piace sempre pensare all'idea che si può derivare una funzione discontinua, e che nel punto di discontinuità la derivata "faccia infinito", che è quello che potrebbe pensare uno studentello sbarbatello
Fioravante, mi dispiace solo una cosa. So che saresti molto contento se io rispondessi a tono innescando una gustosa polemica. Ma purtroppo non posso fare altro che riconoscere che hai perfettamente ragione, specialmente sul moto del proiettile.
Quanto alle soluzioni che possono essere due, per convincerci tutti e tutte ci vorrebbe un esempio. Ci sto pensando.
[ot]Grazie per i complimenti, ma sono tutti effetti speciali, è facile sembrare erudito. Sono uno studente di dottorato in matematica, in fase finale.[/ot]
Quanto alle soluzioni che possono essere due, per convincerci tutti e tutte ci vorrebbe un esempio. Ci sto pensando.
[ot]Grazie per i complimenti, ma sono tutti effetti speciali, è facile sembrare erudito. Sono uno studente di dottorato in matematica, in fase finale.[/ot]
"dissonance":
Fioravante, mi dispiace solo una cosa. So che saresti molto contento se io rispondessi a tono innescando una gustosa polemica
...
Uffa!
Sull'unicità delle soluzioni, qualche commento serio.
1. beh, facciamo a capirci: nessuno pretende che una equazione differenziale abbia "normalmente" una sola soluzione. Non devo dimenticarmi di buttare giù l'ancora, ovvero fissare una condizione iniziale (appropriata...) o magari condizioni al contorno (sperando di non essere sfigato e finire dentro una storia di autovalori e complicazioni assortite), o comunque "qualcosa". Penso che questo lo possiamo considerare ovvio, scontato, anche se da una lettura... letterale di questo thread non sembrerebbe
2. molto più importante. A mio parere c'è di mezzo la distinzione che potremmo dire esserci tra una "teoria completa" e un "modello matematico che funziona". Faccio queste semplici considerazioni (che rivelano la mia profonda ignoranza): voglio descrivere un fenomeno, usando un modello matematico che "porta in sé" (incorpora) anche un concetto di "soluzione". Perché dovrei pretendere che questa soluzione sia per forza unica? Magari il modello è parziale, non aspira a descrivere "tutto", però è comodo perché mi da comunque qualche risposta (esclude tutto ciò che "non è soluzione") e quindi utilitaristicamente mi potrei anche accontentare. Diverso è il discorso se voglio mettere in piedi una teoria che abbia l'ambizione di "spiegare tutto". In questo caso, in presenza di non unicità potrei sentirmi a disagio. Chissà se mi sono spiegato
Credo che tu ti sia spiegato. Le tue parole mi fanno venire in mente il principio di Huygens:
http://farside.ph.utexas.edu/teaching/3 ... de150.html
Il principio di Huygens riguarda la propagazione delle onde. Secondo questo principio, un fronte d'onda deve essere considerato in ogni istante come un insieme di sorgenti puntiformi di onde sferiche. Il fronte d'onda ad un istante successivo è dato dall'inviluppo dei fronti d'onda sferica generati da queste sorgenti.
Qui c'è un problema: gli inviluppi sono due, uno "in avanti" e uno "all'indietro". Ma l'onda è una sola, bisogna sceglierne uno. L'inviluppo giusto è quello in avanti, ma da questa trattazione non è chiaro perché. Qui il problema è che la trattazione è incompleta e che necessita di più matematica per essere solida (ci vuole l'equazione delle onde).
Mi risulta che il principio di Huygens ha avuto un ruolo fondamentale nello stabilire la natura ondulatoria della luce: infatti, accettando che il fronte d'onda giusto sia quello in avanti, con questo principio si dimostrano delle leggi sulla propagazione della luce come la legge di Snell. Ho voluto portarlo ad esempio perché illustra come anche una teoria matematica incompleta, con due soluzioni invece di una soluzione unica, può portare a sviluppi sostanziali nella comprensione di un fenomeno fisico. E questo mi pare in linea con l'intervento di Fioravante.
http://farside.ph.utexas.edu/teaching/3 ... de150.html
Il principio di Huygens riguarda la propagazione delle onde. Secondo questo principio, un fronte d'onda deve essere considerato in ogni istante come un insieme di sorgenti puntiformi di onde sferiche. Il fronte d'onda ad un istante successivo è dato dall'inviluppo dei fronti d'onda sferica generati da queste sorgenti.
Qui c'è un problema: gli inviluppi sono due, uno "in avanti" e uno "all'indietro". Ma l'onda è una sola, bisogna sceglierne uno. L'inviluppo giusto è quello in avanti, ma da questa trattazione non è chiaro perché. Qui il problema è che la trattazione è incompleta e che necessita di più matematica per essere solida (ci vuole l'equazione delle onde).
Mi risulta che il principio di Huygens ha avuto un ruolo fondamentale nello stabilire la natura ondulatoria della luce: infatti, accettando che il fronte d'onda giusto sia quello in avanti, con questo principio si dimostrano delle leggi sulla propagazione della luce come la legge di Snell. Ho voluto portarlo ad esempio perché illustra come anche una teoria matematica incompleta, con due soluzioni invece di una soluzione unica, può portare a sviluppi sostanziali nella comprensione di un fenomeno fisico. E questo mi pare in linea con l'intervento di Fioravante.
Qui si sta divagando alla grande. 
Mi riservo di aggiungere qualcosa sulla questione sollevata dallo OP appena ho un po' di tempo...
Mi riservo di aggiungere qualcosa sulla questione sollevata dallo OP appena ho un po' di tempo...
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