Equazione differenziale con parametro

[Daddarius1]

Data $y'' +ay' -(1+a)y=0$ devo determinare per quale valore di a ottengo l'integrale generale: $c1 e^(t) + c2 e^(2t)$.

Ho pensato di impostare il sistema $ { ( -b+sqrt((b^2-4ac))/(2a)=1 ),( -b-sqrt((b^2 -4ac))/(2a)=2 ):} $ dove 1 e 2 sono le due radici che mi devo trovare ricercando il valore incognito di a; sostituendo la prima nella seconda ottengo: $(4a+2sqrt(b^2 - 4ac))/(2a)= 1$ , che mi da $2+(sqrt(b^2 -4ac)/a)=1$, infine $b^2 -4ac=a^2$ che con le sostituzioni $a=1, b=a, c=1+a$ mi da $a^2 -4a - 5 =0$ che non può essere poichè a deve essere un unico valore.

[Andrea571]

Allora (Segui attentamente ):

Abbiamo:

$y''+ay'-(1+a)y=0$, e devi trovare $a$ tale che l'equazione generale risulti $c_1e^t+c_2e^(2t)$;

Prendiamo l'equazione caratteristica:

$x^2+ax-(1+a)=0$ (ovvero l'equazione di secondo grado usando come coefficienti, i coefficienti dell'equazione differenziale);

Sappiamo anche che, se questa equazione caratteristica ha due soluzioni reali e distinte che chiamo $b$ e $c$, allora l'integrale generale è $c_1e^(bt)+c_2*e^(ct)$, dove $b=1$ e $c=2$;

Successivamente, dobbiamo ricordare che una equazione di secondo grado con due soluzioni reali, si può scrivere anche come $d(x-x_1)(x-x_2)$, dove $d$ è il coefficiente di $x^2$ e $x_1$, $x_2$ sono le soluzioni dell'equazione...da qui abbiamo fatto, reimpostiamo la seguente equazione:

$x^2+ax-(1+a)=1*(x-1)(x-2)$, e andando a sviluppare otterrai....fai tu

[Daddarius1]

non ho capito queste () che significano o è un refuso

[Gi81]

Un altro modo per risolvere il problema:

$y=e^(2t)$ deve essere soluzione di $y''+ay'= (1+a)y$
Sostituendo si ha $4e^(2t)+2ae^(2t)=(1+a)e^(2t)$, da cui $4+2a=1+a=> a= -3$.

Questo significa che se $a != -3$ non c'è possibilità che $y=e^(2t)$ sia soluzione.
Per terminare, ci basta controllare che $a= -3$ vada bene anche per $y=e^t$:
$e^t-3e^t= (1-3)e^t$. Vero.

Dunque l'unica soluzione è $a= -3$