Equazione differenziale con Laplace.

[Escher1]

Salve, devo risolvere questo sistema:

\(\displaystyle \begin{cases}x''(t)+4x'(t)+3x(t) = t * e^{t} \\ x(0) = 0 \\ x'(0) = 1\end{cases} \)

Dove con il simbolo \(\displaystyle * \) indico il prodotto di convoluzione.

Ora risolvo e scrivo (usando la trasformata della derivata):

\(\displaystyle S^{2} X -1 +4SX+3X = t*e^{t} \)

Per quanto riguarda il prodotto di convoluzione:

\(\displaystyle L[t ] = \frac{1}{s^{2}} \)
\(\displaystyle L[e^{t}] = \frac{1}{s-1} \)

\(\displaystyle L[t] * L[e^{t}] = \frac{1}{s^{2} (s-1)} \)

Antitrasformando quest ultimo termine trovo, appunto, il prodotto di convoluzione ossia: \(\displaystyle -t-1+e^{t} \)

Quindi:
\(\displaystyle S^{2} X +4SX+3X = -t+e^{t} \)

Isolo la \(\displaystyle X \) e trovo: \(\displaystyle X = \frac{-t+e^{t}}{s^{2} +4s+3}\)

Il problema è che ora ho un equazione in due variabili e ciò non va bene, in tutti gli esercizi che ho fatto non mi è mai capitata una roba simile, penso di aver sbagliato da qualche parte. Dovrei avere solamente la variabile \(\displaystyle s \).

Sapete indicarmi dov è l'errore che ho commesso?

Grazie in anticipo.

[Quinzio]

Non devi antistrasformare il termine noto.
Lo lasci così com'è, poi metti tutto in fratti semplici e quindi fai l'antitrasformata.

[Escher1]

Ok, quindi lascio \(\displaystyle \frac{1}{s^{2}(s-1)} \) e procedo con i residui?

Grazie e scusa il ritardo della risposta.