Equazione differenziale con $\delta$ di Dirac
Salve a tutti, ecco una domanda che forse a chi ha a che fare con circuiti elettrici e impulsi non dovrebbe sembrar poi così sttrana:
come faccio a risolvere questa equazione?
$d^2/dt^2y(t)+4d/dty(t)+3y(t)=d^4/dt^4\delta(t) ? $
come faccio a risolvere questa equazione?
$d^2/dt^2y(t)+4d/dty(t)+3y(t)=d^4/dt^4\delta(t) ? $
Risposte
Trasformata di Laplace?
ok con le trasformate di Laplace sembra tutto piuttosto semplice...ma mi restano incognite le condizioni iniziali...
Invece citando quest'altro esempio:
(1) $d^2/dt^2y(t)+4d/dty(t)+3y(t)=d/dt\delta(t)+2\delta(t)$ è possibile trovare sia trovare la $h(t)$ che risolve questa equazione sia le condizioni iniziali SENZA l'uso delle trasformate di Laplace, osservando che la $h(t)$ non include funzioni singolari, ma $d^2/dt^2h(t)$ include una$d/dt\delta$.
$h(t)$ può dunque essere espresso come $h(t)=(Ae^(-t)+Be^(-3t))u(t)$. Calcolandone le derivate e sostituendo nella (1) si trovano le condizioni su $A$ e $B$ uguagliando primo e secondo membro.
Tornando al nostro esercizio di partenza con l'uso della trasformata ottengo si la soluzione ma dipendente dai due paramentri $y(0)$ e $y'(0)$...sbaglio qualcosa? O non c'è modo di trovare la soluzione unica? Inoltre, non c'è un metodo analogo al secondo esempio per risolvere l'equazione del primo esercizio? Ovvero senza l'uso della trasformata di Laplace? (E' tratto da un esercizio che riguarda un argomento che non presuppone la conoscenza delle trasformate di Laplace)
Invece citando quest'altro esempio:
(1) $d^2/dt^2y(t)+4d/dty(t)+3y(t)=d/dt\delta(t)+2\delta(t)$ è possibile trovare sia trovare la $h(t)$ che risolve questa equazione sia le condizioni iniziali SENZA l'uso delle trasformate di Laplace, osservando che la $h(t)$ non include funzioni singolari, ma $d^2/dt^2h(t)$ include una$d/dt\delta$.
$h(t)$ può dunque essere espresso come $h(t)=(Ae^(-t)+Be^(-3t))u(t)$. Calcolandone le derivate e sostituendo nella (1) si trovano le condizioni su $A$ e $B$ uguagliando primo e secondo membro.
Tornando al nostro esercizio di partenza con l'uso della trasformata ottengo si la soluzione ma dipendente dai due paramentri $y(0)$ e $y'(0)$...sbaglio qualcosa? O non c'è modo di trovare la soluzione unica? Inoltre, non c'è un metodo analogo al secondo esempio per risolvere l'equazione del primo esercizio? Ovvero senza l'uso della trasformata di Laplace? (E' tratto da un esercizio che riguarda un argomento che non presuppone la conoscenza delle trasformate di Laplace)
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