Equazione differenziale completa del secondo ordine con valore assoluto

[frev]

Ciao a tutti,vi propongo questo esercizio che credo di aver sbagliato:

risolvere la seguente equazione differenziale: $ y''-4y=e^(-|x|) $

ho iniziato con il risolvere l'equazione differenziale omogenea associata: $ y''-4y=0 $

da cui ho $ y_1=e^(2x),y_2=e^(-2x) $ per cui l'integrale generale dell'equazione omogenea è

$ y_(o)(x)=c_1e^(2x)+c_2e^(-2x) $

Ora cerco una soluzione particolare dell'equazione completa che dovrà essere del tipo:

$ Y=c_1(x)y_1(x)+c_2(x)y_2(x) $

Calcolo $ c_1(x)=-int_()^() (f(x)y_2(x))/(W(x)) dx $ e $ c_2(x)=int_()^() (f(x)y_1(x))/(W(x)) dx $ dove $ W(x)=detW(x)=-4 $

Spezzo il valore assoluto per cui ho:

se $ |x|=xrArr c_1(x)=-int_()^() (e^-xe^(-2x))/-4 dx =-1/12e^(-3x) $
se $ |x|=-xrArr c_1(x)=-int_()^() (e^xe^(-2x))/-4 dx =-1/4e^(-x) $
se $ |x|=xrArr c_2(x)=int_()^() (e^-xe^(2x))/-4 dx =-1/4e^(x) $
se $ |x|=-xrArr c_2(x)=int_()^() (e^xe^(2x))/-4 dx =-1/12e^(3x) $

Quindi si ha che se

$ |x|=xrArr Y(x)=-1/12e^(-3x)e^(2x)-1/4e^(-x)e^(-2x) $
$ |x|=-xrArr Y(x)=-1/4e^(-x)e^(2x)-1/12e^(3x)e^(-2x) $

[pilloeffe]

Ciao frev,

Credo tu ti sia complicato la vita non poco ...

"frev":per cui l'integrale generale dell'equazione omogenea è $y_o (x)=c_1 e^{2x} + c_2 e^{-2x}$

Fin qui siamo d'accordo.
Per trovare la soluzione particolare, basta osservare che per definizione si ha:

$|x| := {(x text{ se } x \ge 0),(- x text{ se } x < 0):}$

Nel caso $x \ge 0$ dunque l'equazione differenziale diventa la seguente:

$y''- 4y = e^{-x}$

La soluzione particolare di quest'ultima equazione differenziale sarà del tipo $k e^{-x}$:

$(k e^{-x})'' - 4k e^{-x} = e^{-x} \implies k - 4k = 1 \implies k = -1/3 $

Nel caso $x < 0$ l'equazione differenziale diventa la seguente:

$y''- 4y = e^{x}$

La soluzione particolare di quest'ultima equazione differenziale sarà del tipo $k e^{x}$: ragionando in modo del tutto analogo al caso precedente, si ottiene ancora $k = - 1/3 $. Dunque si può scrivere:

$y_p(x) = {(-1/3 e^{-x} text{ se } x \ge 0),(-1/3 e^{x} text{ se } x < 0):}$

Perciò in definitiva si ha:

$y(x) = y_o(x) + y_p(x) = c_1 e^{2x} + c_2 e^{-2x} - frac{1}{3} e^{-|x|}$

Comunque ottieni lo stesso risultato anche tu (seppure in modo decisamente più laborioso... ) se correggi il segno del primo esponenziale nel secondo termine della prima equazione a partire da

"frev":Quindi si ha che se [...]

in poi e rielabori un po' la seconda. Infatti si ha che

$|x|= x \implies Y(x) = -1/12 e^(-3x) e^(2x) - 1/4 e^(x)e^(-2x) = - 1/12 e^(-x) - 1/4 e^(-x) = - 1/3 e^(-x) $
$|x|=-x \implies Y(x) = -1/4 e^(-x) e^(2x) - 1/12 e^(3x) e^(-2x) = - 1/4 e^(x) - 1/12 e^(x) = - 1/3 e^(x) $

[frev]

Grazie mille,sei stato molto esaustivo.Utilizzare il metodo di somiglianza in questo caso semplifica la vita,il che è una gran cosa:):)