Equazione differenziale cinematica
Ciao ragazzi! ho un dubbio riguardante un'equazione differenziale: come mai $ dx/dt=kx $ ha come integrale generale $ x=ce^(kt) $ ? grazie a tutti
Risposte
questa è un'equazione differenziale a variabili separabili
$dx/x=kdt$
$int dx/x =int kdt$
supponendo x>0 si ha
$lnx=kt+a$
$x=e^{kt+a}$
$x=e^{a}e^{kt}$
posto $c=e^{a}$ si ha
$x=ce^{kt}$ con c>0
$dx/x=kdt$
$int dx/x =int kdt$
supponendo x>0 si ha
$lnx=kt+a$
$x=e^{kt+a}$
$x=e^{a}e^{kt}$
posto $c=e^{a}$ si ha
$x=ce^{kt}$ con c>0
Grazie 1000 per l'aiuto! 
raf85 ti ha scritto il procedimento da fare per la risoluzione, io provo a farti ragionare intuitivamente.
Risolvere $x'(t) = kx(t)$ significa in altri termini trovare quale funzione $x(t)$ ha la derivata uguale a se stessa (a meno di una costante moltiplicativa). Ora, pensaci un attimo, che funzione conosci che quando derivi è uguale a se stessa?
Ma ovviamente è l'esponenziale! Il più del lavoro è stato fatto, ma non è ancora finito.
Abbiamo detto che $D[e^t] = e^t$, ma ci manca la costante $k$. Ricordando le regole di derivazione basterà scrivere $e^{kt}$ la cui derivata, per la regola della derivazione composta (chain rule), è $D[e^{kt}] = e^{kt} \cdot D[kt] = ke^{kt}$.
Osserviamo ora che anche $cx(t) = ce^{kt}$ è una soluzione dato che $D[ce^{kt}] = k(ce^{kt})$ e quindi abbiamo una famiglia di soluzioni al variare del parametro $c$.
Se hai dato algebra lineare/geometria, puoi vedere il problema come la ricerca di autovettori dell'operatore lineare di derivazione $D$. Una volta trovata una base, in questo caso il solo autovettore $e^{kt}$ associato all'autovalore $k$, lo spazio delle soluzioni è lo spazio generato da questa base: $ce^{kt}$
Spero di esserti stato un pochino d'aiuto
Risolvere $x'(t) = kx(t)$ significa in altri termini trovare quale funzione $x(t)$ ha la derivata uguale a se stessa (a meno di una costante moltiplicativa). Ora, pensaci un attimo, che funzione conosci che quando derivi è uguale a se stessa?
Ma ovviamente è l'esponenziale! Il più del lavoro è stato fatto, ma non è ancora finito.
Abbiamo detto che $D[e^t] = e^t$, ma ci manca la costante $k$. Ricordando le regole di derivazione basterà scrivere $e^{kt}$ la cui derivata, per la regola della derivazione composta (chain rule), è $D[e^{kt}] = e^{kt} \cdot D[kt] = ke^{kt}$.
Osserviamo ora che anche $cx(t) = ce^{kt}$ è una soluzione dato che $D[ce^{kt}] = k(ce^{kt})$ e quindi abbiamo una famiglia di soluzioni al variare del parametro $c$.
Se hai dato algebra lineare/geometria, puoi vedere il problema come la ricerca di autovettori dell'operatore lineare di derivazione $D$. Una volta trovata una base, in questo caso il solo autovettore $e^{kt}$ associato all'autovalore $k$, lo spazio delle soluzioni è lo spazio generato da questa base: $ce^{kt}$
Spero di esserti stato un pochino d'aiuto
Grazie Emar
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