Equazione differenziale che proprio non i viene
Ragazzi,
ho questa equazione differenziale $y^2+y=cosx$
$\lambda^2+1=0$
$\Delta=-4<0$
$\alpha=0$
$beta=1$
$y(x)=c_1cosx+c2senx+v_0(x)$
solo che adesso non so se c'è molteplicità,perchè il libro nel risulato sembra la metta, solo che come faccio a capire se non ho valori di $\lambda$ ma solo valori di $\alpha$ e $\beta$?
Io infatti 'ho fatta senza perchè non lo so e non mi trovo perchè si cancella tutto:
$v_0(x)=acosx+benx$
$v_0'(x)=a(-senx)+bcosx$
$v_0^2(x)= a(-cosx)+b(-senx)$
$-acosx-bsenx+acosx+bsenx=cosx$
e come vedete si cancella tutto
Vi posto il risultato del lbro:
$y(x)=c_1cosx+c2senx+(xsenx)/2$
ho questa equazione differenziale $y^2+y=cosx$
$\lambda^2+1=0$
$\Delta=-4<0$
$\alpha=0$
$beta=1$
$y(x)=c_1cosx+c2senx+v_0(x)$
solo che adesso non so se c'è molteplicità,perchè il libro nel risulato sembra la metta, solo che come faccio a capire se non ho valori di $\lambda$ ma solo valori di $\alpha$ e $\beta$?
Io infatti 'ho fatta senza perchè non lo so e non mi trovo perchè si cancella tutto:
$v_0(x)=acosx+benx$
$v_0'(x)=a(-senx)+bcosx$
$v_0^2(x)= a(-cosx)+b(-senx)$
$-acosx-bsenx+acosx+bsenx=cosx$
e come vedete si cancella tutto
Vi posto il risultato del lbro:
$y(x)=c_1cosx+c2senx+(xsenx)/2$
Risposte
ciao, il termine noto è del tipo $e^(\alphax)[P_1(x)cos\betax+P_2(x)sin\betax]$ con $\alpha=0, \beta=1$ $P_1$ polinomio di grado zero (costante) e $P_2$ polinomio nullo. quindi il numero complesso $\lambda=0+i1$ è soluzione del polinomio caratteristico (che ha radici complesse $\lambda_12=0+-i1$) e quindi la soluzione particolare è $v_0=x^r e^(\alphax)[Acos\betax+Bsin\betax]$ dove $r$ è la molteplicità di $lambda$ che in questo caso è uno, quindi sostituendo i valori di $\alpha, \beta$ e $r$ il tuo integrale particolare alla fine diventa $v_0=x(Acosx + Bsinx)$. fai i conti e vedrai che viene.
io ancora non ho capitoallora ho campito che $\lambda=0+i1$ e fin qua tutto ok,
però il libro nella teoria mi dice:
se $P\lambda +i\mu!=0$ allora non si mette la $x^h$ nella soluzione particolare,mentre
se $P\lambda +i\mu=0$ e $\lmbda+i\mu$ ha molteplicità h allora si mette la $x^h$ nella soluzione particolare,
solo che nel nostro caso con $\lambda=0+i1$ quanto è $P\lambda +i\mu$,cioè è diverso da 0 o uguale a 0?
però il libro nella teoria mi dice:
se $P\lambda +i\mu!=0$ allora non si mette la $x^h$ nella soluzione particolare,mentre
se $P\lambda +i\mu=0$ e $\lmbda+i\mu$ ha molteplicità h allora si mette la $x^h$ nella soluzione particolare,
solo che nel nostro caso con $\lambda=0+i1$ quanto è $P\lambda +i\mu$,cioè è diverso da 0 o uguale a 0?
$0+i1$ è radice del polinomio caratteristico infatti $(0+i1)^2=i^2=-1$ e quindi $P(\lambda)=0$
akuma scusa ma ancora non mi è chiaro, allora mi spiego meglio:
allora in questa equazione diciamo che ci sta $e^0$ nascosto quindi è come se $\lambda=0$, però io per vedere se c'è la molteplicità dovrei vedere $\lambda=0$ è proprio una radice di questa eqauzione però se abbiamo detto che le radici sono $\lambda_(1/2)=0+i1$ come mi regolo?
allora in questa equazione diciamo che ci sta $e^0$ nascosto quindi è come se $\lambda=0$, però io per vedere se c'è la molteplicità dovrei vedere $\lambda=0$ è proprio una radice di questa eqauzione però se abbiamo detto che le radici sono $\lambda_(1/2)=0+i1$ come mi regolo?
"75america":
allora in questa equazione diciamo che ci sta $e^0$ nascosto quindi è come se $\lambda=0$
è qui che sbagli: in base all'equazione differenziale data $\lambda=0+i1=i$, dove zero è $alpha$ ovvero il coefficiente dell'esponenziale, e $1$ è $\beta$.
ora il polinomio caratteristico ha 2 soluzioni complesse coniugate cioè $\lambda_12=0+-i1$ (fai attenzione al $+-$!). ora fai il confronto con il $\lambda$ che ti ricavi dall'equazione differenziale, vedi che una delle due soluzione del polinomio caratteristico è uguale a $\lambda$ e la sua molteplicità (dalla soluzione) è $1$ in quanto il polinomio caratteristico è di secondo grado ed avendo 2 radici ognuna di queste ha per forza molteplicità $1$.
è qui che sbagli: in base all'equazione differenziale data $\lambda=0+i1=i$.,
allora innanzitutto come telo sei ricavato? io ho preso $\lambda^2+1=0$ mi uscivano le due soluzioni complesse coniugate $\lambda=0+-i1$ e da queste ho preso il caso con il segno più.
forse è prorpio perchè me lo sono ricavato così che praticamente non riesco a riconoscere che questa è soluzione del polinomio caratteristico.
per trovare il $\lambda$ che poi andrà confrontato con le radici del polinomio caratteristico devi confrontare il termine noto dell'equazione differenziale (nel tuo caso $cosx$) con il caso più generale ovvero $e^(\alphax)[P_1(x)cos\betax+P_2(x)sin\betax]$ (è proprio questo il metodo di somiglianza). come ti ho già detto confrontando il termine noto dell'equazione data e quello del caso generale ti ricavi $\lambda=\alpha+i\beta$ che in questo caso ha $\alpha=0, \beta=1$ e i due polinomi sono due costanti: 1 per il coseno e 0 per il seno.
scusa ma nel caso generale che vedo:
$e^(\alphax)[P_1(x)cos\betax+P_2(x)sin\betax]$ non vedo nessun $\lambda$, poi spiegami, ma $\lambda$ è sempre uguale a $alpha+ibeta$?
cioè metto a confronto cosx con il caso generale a me più di un $lambda=0$ proprio non mi esce e se pure, casomai uscisse mi troverei che $alpha=0$ e $beta=1$, ma poi sta molteplicdità dove si vede?
mah, sono io che non capisco, mi devi scusa
$e^(\alphax)[P_1(x)cos\betax+P_2(x)sin\betax]$ non vedo nessun $\lambda$, poi spiegami, ma $\lambda$ è sempre uguale a $alpha+ibeta$?
cioè metto a confronto cosx con il caso generale a me più di un $lambda=0$ proprio non mi esce e se pure, casomai uscisse mi troverei che $alpha=0$ e $beta=1$, ma poi sta molteplicdità dove si vede?
mah, sono io che non capisco, mi devi scusa
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