Equazione differenziale: che polinomio?
Salve a tutti,
devo integrare la seguente equazione differenziale:
$y'' -3y'+2y=xsenx$
ma non riesco a trovare il polinomio che mi permetta la risoluzione dell'esercizio. Qualcuno potrebbe darmi dei suggerimenti? Grazie in anticipo per l'aiuto!
devo integrare la seguente equazione differenziale:
$y'' -3y'+2y=xsenx$
ma non riesco a trovare il polinomio che mi permetta la risoluzione dell'esercizio. Qualcuno potrebbe darmi dei suggerimenti? Grazie in anticipo per l'aiuto!
Risposte
la caratterstica penso tu l'abbia fatta....è $y_(x)=C_1e^(-2x)+C_2e^(-x)+q(x)$
la particolare invece avrà forma goniometrica del tipo$Asenx+Bsenx$
hai anke i dati di Cauchy?
la particolare invece avrà forma goniometrica del tipo$Asenx+Bsenx$
hai anke i dati di Cauchy?
No... non ci sono dati di Cauchy...
perdonami ma non dovrebbe essere Asenx+Bcosx?
perdonami ma non dovrebbe essere Asenx+Bcosx?
si si....ho sbagliato scusa è come hai detto te, però A e B sono costanti da determinare attraverso i dati di Cauchy, se non ci sono l'equazione resta indefinita
Sì, infatti resta indefinita... però mi chiedo... il termine $x$? Non lo confronto con nessun polinomio? Cioè l'equazione che hai scritto tu non dovrebbe essere $(ax+b)senx+(cx+d)cosx$?
Non è vero quello che dite... A e B non sono da determinarsi con le condizioni al contorno o iniziali... Quelle sono casomai $c_1$ e $c_2$
Inoltre di sicuro la soluzione postata da Elwood non verifica l'equazione completa...
Inoltre di sicuro la soluzione postata da Elwood non verifica l'equazione completa...
A me non interessa calcolare $c_1$ o $c_2$, ma mi serve calcolare un integrale particolare e vorrei farlo mediante il principio di identità tra polinomi...
Appunto dico solo che quelle costanti si calcolano tranquillamente anche senza le condizioni di cui parlate...
Ah, sì! Certo! 
Pardon è vero A e B le determini ugualmente, ma la soluzione della caratteristica ho detto che avrà quella forma li non intendendo che è esattamente così
in che senso? Perdonami potresti essere più chiaro?
L'equazione è $y(x)=C1*e^2x+C2*e^x+q(x) $
dove q(x) è una soluzione particolare dell'eq non omogenea del tipo
$q(x)=(ax+b)senx+(cx+d)cosx$
devi poi calcolare q'(x) e q''(x)
$q'(x)=asenx+(ax+b)cosx+ccosx-(cx+d)senx$
e
$q''(x)=acosx-csenx+acosx-(ax+b)sinx-csinx-(cx+d)cosx$
poichè q(x) è una soluzione la sostituisco dentro l'eq differenziale originaria ottenendo
$q(x)''-3q(x)'+2q(x)=xsenx$
cioè
$acosx-csenx+acosx-(ax+b)sinx-csinx-(cx+d)cosx-3asenx-3(ax+b)cosx-3c*cosx+3(cx+d)senx+2(ax+b)senx+2(cx+d)cosx=xsenx$
e poi porrò il coefficiente di xsenx =1 e gli altri coefficienti =0 determinando così le costanti
a,b,c,d da sostituire in
$q(x)=(ax+b)senx+(cx+d)cosx$
ho così determinato la soluzione particolare dell'eq non omogenea che mi serviva
(non so se i calcoli delle derivate siano effettivamente giusti perchè le ho fatte un pò di fretta cmq il metodo è quello)
dove q(x) è una soluzione particolare dell'eq non omogenea del tipo
$q(x)=(ax+b)senx+(cx+d)cosx$
devi poi calcolare q'(x) e q''(x)
$q'(x)=asenx+(ax+b)cosx+ccosx-(cx+d)senx$
e
$q''(x)=acosx-csenx+acosx-(ax+b)sinx-csinx-(cx+d)cosx$
poichè q(x) è una soluzione la sostituisco dentro l'eq differenziale originaria ottenendo
$q(x)''-3q(x)'+2q(x)=xsenx$
cioè
$acosx-csenx+acosx-(ax+b)sinx-csinx-(cx+d)cosx-3asenx-3(ax+b)cosx-3c*cosx+3(cx+d)senx+2(ax+b)senx+2(cx+d)cosx=xsenx$
e poi porrò il coefficiente di xsenx =1 e gli altri coefficienti =0 determinando così le costanti
a,b,c,d da sostituire in
$q(x)=(ax+b)senx+(cx+d)cosx$
ho così determinato la soluzione particolare dell'eq non omogenea che mi serviva
(non so se i calcoli delle derivate siano effettivamente giusti perchè le ho fatte un pò di fretta cmq il metodo è quello)
Grazie mille sei stato chiarissimo ed anche ad ELWOOD!
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