Equazione differenziale che mi toglie il sonno
Ciao ragazzi, vi prego datemi una mano con questa equazione differenziale!
$y'=(x^3+y^3)/(xy^2)$
$y'=(x^3+y^3)/(xy^2)$
Risposte
Ciao! Ti ringrazio molto per la tua disponibilità e ti chiedo ancora una cosa, non mi è ben chiaro il secondo passaggio, comunque grazie 1000 lo stesso! 
Scusa se ti sembro un po' tardo, ma non mi è chiaro perchè hai moltiplicato per $(3y^2(x))/x^3$. Scusa se ti stresso, ma già che ho aperto un thread cerco di togliermi tutti i dubbi!
Bene! Ora che so che genere di equazione sia mi andrò ad informare! Sei stato molto gentile e disponibile, è solo che non mi capacitavo di come tu sapessi qual'era la quantità giusta per cui moltiplicare ambo i membri, rinnovo i ringraziamenti e mi metto sotto con le equazioni di Bernoulli!
Altro metodo.
Innanzitutto, osservo che ogni soluzione della EDO è definita in intervalli del tipo \(]-\infty ,0[\) o \(]0,\infty[\) e, nel proprio intervallo di definizione, prende sempre valori positivi o sempre valori negativi.
Conseguentemente, il grafico di ogni soluzione della EDO "vive" in uno (ed uno solo) dei quattro quadranti del piano.
Il secondo membro della EDO:
\[
f(x,y) = \frac{x^3+y^3}{x\ y^2}
\]
è il rapporto di due funzioni omogenee dello stesso grado, pertanto esso è una funzione omogenea di grado zero, ossia è costante lungo ogni semiretta del piano uscente dall'origine.
Pertanto, possiamo pensare di cercare la soluzione della EDO nella forma:
\[
\tag{1}
y(x) =u(x)\ x
\]
in cui \(u(x)\) è una funzione incognita (questo equivale a dire che il grafico della soluzione interseca ogni semiretta uscente dall'origine -esclusi i due rami degli assi delle ascisse e delle ordinate- al più in un unico punto).
Derivando la (1) si trova:
\[
y^\prime (x) = x\ u^\prime (x) + u(x)
\]
mentre è:
\[
f(x,u(x)\ x) = \frac{1+u^3(x)}{u^2(x)} = \frac{1}{u^2(x)} + u(x)
\]
in cui \(x\) è stata semplificata perché diversa da \(0\) in ogni caso; conseguentemente la nuova incognita \(u(x)\) soddisfa la EDO:
\[
x\ u^\prime (x) + u(x) = \frac{1}{u^2(x)} + u(x)
\]
cioé:
\[
u^2(x)\ u^\prime (x) =\frac{1}{x}
\]
la quale separa le variabili ed ha come integrale generale:
\[
\tag{2}
u(x) = \sqrt[3]{C + 3\ \ln |x|}\; .
\]
Da (1) & (2) segue immediatamente che l'integrale generale della EDO assegnata all'inizio è:
\[
y(x) =x\ \sqrt[3]{C + 3\ \ln |x|}\; ,
\]
definito in un intervallo non contenente lo \(0\) in cui il radicando non cambia il suo segno.
Innanzitutto, osservo che ogni soluzione della EDO è definita in intervalli del tipo \(]-\infty ,0[\) o \(]0,\infty[\) e, nel proprio intervallo di definizione, prende sempre valori positivi o sempre valori negativi.
Conseguentemente, il grafico di ogni soluzione della EDO "vive" in uno (ed uno solo) dei quattro quadranti del piano.
Il secondo membro della EDO:
\[
f(x,y) = \frac{x^3+y^3}{x\ y^2}
\]
è il rapporto di due funzioni omogenee dello stesso grado, pertanto esso è una funzione omogenea di grado zero, ossia è costante lungo ogni semiretta del piano uscente dall'origine.
Pertanto, possiamo pensare di cercare la soluzione della EDO nella forma:
\[
\tag{1}
y(x) =u(x)\ x
\]
in cui \(u(x)\) è una funzione incognita (questo equivale a dire che il grafico della soluzione interseca ogni semiretta uscente dall'origine -esclusi i due rami degli assi delle ascisse e delle ordinate- al più in un unico punto).
Derivando la (1) si trova:
\[
y^\prime (x) = x\ u^\prime (x) + u(x)
\]
mentre è:
\[
f(x,u(x)\ x) = \frac{1+u^3(x)}{u^2(x)} = \frac{1}{u^2(x)} + u(x)
\]
in cui \(x\) è stata semplificata perché diversa da \(0\) in ogni caso; conseguentemente la nuova incognita \(u(x)\) soddisfa la EDO:
\[
x\ u^\prime (x) + u(x) = \frac{1}{u^2(x)} + u(x)
\]
cioé:
\[
u^2(x)\ u^\prime (x) =\frac{1}{x}
\]
la quale separa le variabili ed ha come integrale generale:
\[
\tag{2}
u(x) = \sqrt[3]{C + 3\ \ln |x|}\; .
\]
Da (1) & (2) segue immediatamente che l'integrale generale della EDO assegnata all'inizio è:
\[
y(x) =x\ \sqrt[3]{C + 3\ \ln |x|}\; ,
\]
definito in un intervallo non contenente lo \(0\) in cui il radicando non cambia il suo segno.
Grazie mille, sei stato molto completo ed esaustivo!
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