Equazione differenziale cervellotica
Ragazzi spero sappiate darmi una risposta voi, perché io ha un pomeriggio che cerco di venirne fuori ma niente.
Ho la seguente equazione differenziale del primo ordine che fa parte di un problema di Cauchy:
y'= (x*sin(y) + y*cos(y))/(y*sin(y) - x*cos(y))
(l'ho scritta come viene ai moderatori modificarla se è il caso please)
devo risolvere questa equazione differenziale e il prof durante l'esame ha detto che questa equazione va risolta come fosse una forma differenziale. Googlando qui e li ho letto che è una equazione differenziale esatta e che ha un metodo di risoluzione che non sono riuscito a trovare da nessuna parte e nessun libro in mio possesso ne parla.
Qualcuno mi può dare una soluzione al mio problema? Ve ne sarei immensamente grato
Ho la seguente equazione differenziale del primo ordine che fa parte di un problema di Cauchy:
y'= (x*sin(y) + y*cos(y))/(y*sin(y) - x*cos(y))
(l'ho scritta come viene ai moderatori modificarla se è il caso please)
devo risolvere questa equazione differenziale e il prof durante l'esame ha detto che questa equazione va risolta come fosse una forma differenziale. Googlando qui e li ho letto che è una equazione differenziale esatta e che ha un metodo di risoluzione che non sono riuscito a trovare da nessuna parte e nessun libro in mio possesso ne parla.
Qualcuno mi può dare una soluzione al mio problema? Ve ne sarei immensamente grato
Risposte
Altro che cervellotica, è una bastardata unica! Comunque, vediamo come svolgerla: chiamo per comodità
$N=x\sin y+y\cos y,\qquad D=y\sin y-x\cos y$
numeratore e denominatore. L'equazione si può scrivere nella forma $D y'=N$. Ora, osserviamo che
$N'=\sin y+x y' \cos y+y' \cos y- y y' \sin y=\sin y+y' \cos y-y'(y \sin y-x \cos y)=$
$=\sin y+y' \cos y-y' D=\sin y+y'\cos y-N$
e quindi
$N'+N-sin y-y' \cos y=0$
Se ora poniamo $z=N-\sin y$ si ha $z'=N'-y' \cos y$ e quindi l'equazione diventa $z+z'=0$ la cui soluzione è $z(x)=c e^{-x}$ e quindi $(N-\sin y)e^x=c$. La soluzione rimane in forma implicita.
$N=x\sin y+y\cos y,\qquad D=y\sin y-x\cos y$
numeratore e denominatore. L'equazione si può scrivere nella forma $D y'=N$. Ora, osserviamo che
$N'=\sin y+x y' \cos y+y' \cos y- y y' \sin y=\sin y+y' \cos y-y'(y \sin y-x \cos y)=$
$=\sin y+y' \cos y-y' D=\sin y+y'\cos y-N$
e quindi
$N'+N-sin y-y' \cos y=0$
Se ora poniamo $z=N-\sin y$ si ha $z'=N'-y' \cos y$ e quindi l'equazione diventa $z+z'=0$ la cui soluzione è $z(x)=c e^{-x}$ e quindi $(N-\sin y)e^x=c$. La soluzione rimane in forma implicita.
@ matrix0885: È possibile sapere la condizione iniziale del problema di Cauchy?
certo la condizione iniziale del problema di Cauchy è:
y(0) = pi/2
y(0) = pi/2
scusa ciampax ti dispiacerebbe spiegarmi in soldoni che metodo hai usato per risolvere questa bestia?? A prescindere dalla soluzione che hai dato tu che spero mi spiegherai, mi sai dire cosa intende dire il prof dicendo che va risolta come forma differenziale?
"matrix0885":
certo la condizione iniziale del problema di Cauchy è:
y(0) = pi/2
Come pensavo... Allora non c'è bisogno nemmeno di fare mezzo conto.
L'unica soluzione (almeno locale) di quel problema si trova "a occhio".
"matrix0885":
scusa ciampax ti dispiacerebbe spiegarmi in soldoni che metodo hai usato per risolvere questa bestia?? A prescindere dalla soluzione che hai dato tu che spero mi spiegherai, mi sai dire cosa intende dire il prof dicendo che va risolta come forma differenziale?
Nessun metodo: sono andato ad occhio. Risolverla come forma differenziale significa che devi scriverla così: poiché $y'={dy}/{dx}$ allora
$N\ dx-D\ dy=0$ (che poi in realtà è quello che ho fatto io)
e verificare che $N_y=-D_x$ da cui puoi concludere che la forma è chiusa e quindi anche esatta e pertanto esiste una funzione $f(x,y)$ per cui $f_x=N,\ f_y=D$ e di conseguenza $df=N\ dx-D\ dy$, e infine, essendo $df=0$ si ha $f=cost$.
Però, come effettivamente diceva gugo, se la condizione iniziale è $y(0)=\pi/2$ è inutile fare conti: la soluzione, banale, che viene fuori è proprio $y(x)=\pi/2$.
Scusate se posso sembrare tordo, ma posso capire anche io perché la soluzione è così banale? cosa si vede "a occhio"?
Prova a sostituire $y(x)=\pi/2$ nella equazione di partenza e vedi cosa accade. 
in pratica dove vedo y metto pi/2?
Uno dei fatti banali della teoria delle ODE del primo ordine è il seguente:
La dimostrazione te la lascio come esercizio.
Nel caso in esame hai:
\[
f(x,y) = \frac{x\ \sin y + y\ \cos y}{y\ \sin y -x\ \cos y}
\]
che è definita in tutto \(\mathbb{R}^2\) privato dell'insieme dei punti della curva d'equazione \(x=y\ \tan y\); tale insieme contiene il punto iniziale \((x_0,y_0)=(0,\pi/2)\) nel suo interno, quindi è certamente possibile determinare un intorno rettangolare \(I\times J\) del punto iniziale in cui \(f\) risulti sempre definita.
Dato che \(f(0,\pi/2)=0\), in \(I\) il problema ammette la soluzione costante \(\bar{y}(x)=\pi/2\).
Tale soluzione è anche unica, perché in \(I\times J\) la \(f\) è lipschitziana rispetto alla variabile \(y\) uniformemente rispetto a \(x\).
Pertanto il PdC assegnato, i.e.:
\[
\begin{cases}
y^\prime (x) = \frac{x\ \sin y(x) + y(x)\ \cos y(x)}{y(x)\ \sin y(x) -x\ \cos y(x)} \\
y(0)=\frac{\pi}{2}\; ,
\end{cases}
\]
ha unicamente la soluzione costante \(\bar{y}(x)=\pi/2\) in \(I\).
Infine, per noti risultati di prolungamento, si può pure affermare che la soluzione \(\bar{y}\) è l'unica soluzione del PdC assegnato in tutto l'intervallo \(]0,+\infty[\).
Siano \(I,J\subseteq \mathbb{R}\) intervalli, \(f: I\times J \to \mathbb{R}\) una funzione ed \((x_0,y_0)\in I\times J\).
Se \(f(x_0,y_0)=0\), allora il problema di Cauchy:
\[
\begin{cases}
y^\prime (x) =f(x,y(x)) &\text{, in I}\\
y(x_0)=y_0
\end{cases}
\]
ha almeno la soluzione costante \(\bar{y}(x)=y_0\) in tutto \(I\).
La dimostrazione te la lascio come esercizio.
Nel caso in esame hai:
\[
f(x,y) = \frac{x\ \sin y + y\ \cos y}{y\ \sin y -x\ \cos y}
\]
che è definita in tutto \(\mathbb{R}^2\) privato dell'insieme dei punti della curva d'equazione \(x=y\ \tan y\); tale insieme contiene il punto iniziale \((x_0,y_0)=(0,\pi/2)\) nel suo interno, quindi è certamente possibile determinare un intorno rettangolare \(I\times J\) del punto iniziale in cui \(f\) risulti sempre definita.
Dato che \(f(0,\pi/2)=0\), in \(I\) il problema ammette la soluzione costante \(\bar{y}(x)=\pi/2\).
Tale soluzione è anche unica, perché in \(I\times J\) la \(f\) è lipschitziana rispetto alla variabile \(y\) uniformemente rispetto a \(x\).
Pertanto il PdC assegnato, i.e.:
\[
\begin{cases}
y^\prime (x) = \frac{x\ \sin y(x) + y(x)\ \cos y(x)}{y(x)\ \sin y(x) -x\ \cos y(x)} \\
y(0)=\frac{\pi}{2}\; ,
\end{cases}
\]
ha unicamente la soluzione costante \(\bar{y}(x)=\pi/2\) in \(I\).
Infine, per noti risultati di prolungamento, si può pure affermare che la soluzione \(\bar{y}\) è l'unica soluzione del PdC assegnato in tutto l'intervallo \(]0,+\infty[\).
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