Equazione differenziale, carattere serie,integrale doppio

[redfox87]

salve ragazzi
mi sono trovato davanti questi esercizi...qualcuno può dirmi se si trova con le mie soluzioni?

problema di Cauchy:
$ y'=sin(y)/sin(x) $ con condizione iniziale $ y(Pi/2)=Pi/2 $
come integrale generale mi sono trovato $ y=arccos(cos(x)+c) $ e come soluzione particolare del problema $ y=x $

serie:
determinazione dell'insieme di convergenza della seguente serie:
$ sum [(n^3 +5n)/3^n]*e^(2nx) $
come intervallo di convergenza mi trovo che converge solo per x=0;
inoltre mi chiede di studiarne la convergenza uniforme....

integrale doppio:
$ int arctan(x+y)dxdy $ nel dominio normale $ T={(x.y)| 0<=x<=1, 0<=y<=x} $
la soluzione finale mi viene na cosa bruttissima, scrivo solo la soluzione dell integrale rispetto a dy:
$ (x+y)arctan(x+y) - 1/2 [log(1+(x+y)^2)] $

ragazzi se sono sbagliati tutti e 3 ditemelo fatemi pure uno schifoXD ma indicatemi se sto sulla strada giusta o devo buttarmi con la testa nel muro XD
grazie

[f.bisecco]

Per l'equazione differenziale a variabili separabili posta il procedimento perchè dovrebbe essere diverso il risultato...

a me viene

$int1/sinydy=int1/sinxdx$

Ho risolto i due integrali applicando le formule parametriche per il seno....

$y=2arctg(tg(x/2)+c)$

[redfox87]

aja infatti avevo fatto un errore di distrazione grosso... giustamente ci volgiono le paretriche..
quindi verrebbe
$ int ((1+t^2) /(2t)) dx = int ((1+u^2)/(2u)) dy $
con t ed u rispettivamente uguali a sin x/2 e sin y/2...
divido e viene
$ 1/2 int (1/t +t)dx= 1/2 int (1/u +u)dy
...ma poi????