Equazione Differenziale Bernoulli

Dr.Hermann
Salve a tutti!

Vorrei chiedere cortesemente il vostro aiuto in merito allo studio del seguente problema di Cauchy:

$y'=4y/x+xsqrt(y) $, con $y(1)=1$

Il risultato che ottengo alla fine è: $y(x)= x^4/4 ln^2x+x^4c^2+x^4clnx$
Applicando ora la condizione mi risulta che c sia: $c=\pm1$
Solo che ora mi sono bloccato perché non capisco quale c debba scegliere.
Potreste darmi una mano?
Grazie

Risposte
pilloeffe
Ciao Dr.Hermann,

Mi risultano corrette entrambe:

$y(x) = 1/4 x^4 (ln x \pm 2)^2 $

anonymous_0b37e9
"Dr.Hermann":

... non capisco quale $c$ debba scegliere.

Premesso che, almeno in questo caso, vale un teorema di esistenza e unicità locale, per non essere indotti in errore dovresti imporre la condizione iniziale sulla funzione ausiliaria $z(x)$:

$[z(x)=1/2x^2(lnx+c)] ^^ [z(1)=1] rarr [c=2]$

In questo modo, essendo:

$y(x)=z^2(x)$

ottieni l'unica soluzione:

$y(x)=1/4x^4(lnx+2)^2$

Dr.Hermann
Avrei due questioni da risolvere:
1- Il risultato dell'equazione a me viene leggermente diverso. Ora vi illustro i passaggi velocemente:

ho posto $y^(1-1/2)=p$, quindi $y^(1/2)=p$, $y=p^2$, $y'=2pp'$. Sostituisco all'interno dell'eq ed ottengo:
$2pp'-4/xp^2=xp$ $Rightarrow$ $p'=2/xp+x/2$ ed è una eq.diff.non omog. Risolvo cosi:
$A(x)= 2\int(1/x)dx=2lnx$
$p(x)=e^(2lnx)[1/2\int(xe^-(2lnx) dx +c]=x^2[lnx/2+c]$ e risulta diverso dal vostro $x^2/2(lnx+c)$

2- Se volessi stabilire l'unicità della soluzione senza risolverlo dovrei verificare che la mia $f(x,y)$ sia continua nel dominio e inoltre (cond.lipschitzianità) che il limite della derivata parziale di $f(x,y)$ rispetto ad $y$ nel punto $1$ sia continuo anch'esso.
E' corretto?

Quindi facendo la derivata parziale della funzione con $x=1$ ottengo: $(\deltaf(x_0,y))/(\deltay)= 4+1/(2sqrt(y))$
$\Rightarrow$ $\lim_{y\to 1} 4+1/(2sqrt(y))=9/2 $, quindi la derivata è continua nel punto 1. Posso dire che ammette un'unica soluzione?

anonymous_0b37e9
Per quanto riguarda il primo punto:

$p(x)=x^2(lnx/2+c)$

$z(x)=1/2x^2(lnx+c)$

rappresentano il medesimo integrale generale. Infatti:

$p(x)=x^2(lnx/2+c)=1/2x^2(lnx+2c)=1/2x^2(lnx+c)=z(x)$

visto che indicare la costante arbitraria come $c$ oppure $2c$ è del tutto irrilevante.

Per quanto riguarda il secondo punto, con le notazioni sottostanti:

$[y'=f(x,y)] ^^ [y(x_0)=y_0]$

se:

$[f(x,y)] ^^ [(delf)/(dely)(x,y)]$

sono continue in un intorno di $(x_0,y_0)$, l'esistenza e l'unicità della soluzione è assicurata. Nel caso in esame:

$[f(x,y)=(4y)/x+xsqrty] ^^ [(delf)/(dely)(x,y)=4/x+x/(2sqrty)]$

sono evidentemente continue in un intorno di $(1,1)$.

pilloeffe
"Dr.Hermann":
Il risultato dell'equazione a me viene leggermente diverso.

Perché dici ciò? Ti risulta

$p(x) = x^2[(lnx)/2 + c ] = 1/2 x^2 [lnx + 2c] = 1/2 x^2 (lnx + c) $

avendo richiamato con $c $ la costante $2c$ nell'ultimo passaggio. L'ultima espressione scritta non è altro che ciò che @anonymous_0b37e9 ha chiamato $z(x) $

@anonymous_0b37e9:
Non mi è del tutto chiaro il tuo ragionamento, ma magari sono io che mi sto perdendo qualcosa:

"anonymous_0b37e9":
In questo modo, essendo:

$y(x)=z^2(x)$


Da questa relazione scritta per $x = 1 $ si ottiene $1 = y(1) = z^2(1) \implies z_{1,2}(1) = \pm 1 $: in effetti dall'espressione di $z(x) $ si può verificare facilmente che può assumere anche il valore $- 1$. Perché allora

"anonymous_0b37e9":
[...] sulla funzione ausiliaria $z(x)$:

$[z(x)=1/2x^2(lnx+c)] ^^ [z(1)=1] rarr [c=2]$

Non è che invece quella radice quadrata nell'equazione differenziale (e di conseguenza poi il quadrato che ne deriva) invalida il discorso dell'unicità della soluzione del PdC che di solito sussiste?

anonymous_0b37e9
@ pilloeffe

Essendo sicuro dell'unicità, mi sono limitato a fare una verifica:

$y(x)=1/4x^4(lnx-2)^2$

soddisfa la condizione iniziale ma non soddisfa l'equazione differenziale. Quando si sostituisce:

$sqrt(y(x))=sqrt(1/4x^4(lnx-2)^2)=1/2x^2|lnx-2|$

pilloeffe
Ok, visto. Grazie.

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