Equazione Differenziale Bernoulli
Salve a tutti!
Vorrei chiedere cortesemente il vostro aiuto in merito allo studio del seguente problema di Cauchy:
$y'=4y/x+xsqrt(y) $, con $y(1)=1$
Il risultato che ottengo alla fine è: $y(x)= x^4/4 ln^2x+x^4c^2+x^4clnx$
Applicando ora la condizione mi risulta che c sia: $c=\pm1$
Solo che ora mi sono bloccato perché non capisco quale c debba scegliere.
Potreste darmi una mano?
Grazie
Vorrei chiedere cortesemente il vostro aiuto in merito allo studio del seguente problema di Cauchy:
$y'=4y/x+xsqrt(y) $, con $y(1)=1$
Il risultato che ottengo alla fine è: $y(x)= x^4/4 ln^2x+x^4c^2+x^4clnx$
Applicando ora la condizione mi risulta che c sia: $c=\pm1$
Solo che ora mi sono bloccato perché non capisco quale c debba scegliere.
Potreste darmi una mano?
Grazie
Risposte
Ciao Dr.Hermann,
Mi risultano corrette entrambe:
$y(x) = 1/4 x^4 (ln x \pm 2)^2 $
Mi risultano corrette entrambe:
$y(x) = 1/4 x^4 (ln x \pm 2)^2 $
"Dr.Hermann":
... non capisco quale $c$ debba scegliere.
Premesso che, almeno in questo caso, vale un teorema di esistenza e unicità locale, per non essere indotti in errore dovresti imporre la condizione iniziale sulla funzione ausiliaria $z(x)$:
$[z(x)=1/2x^2(lnx+c)] ^^ [z(1)=1] rarr [c=2]$
In questo modo, essendo:
$y(x)=z^2(x)$
ottieni l'unica soluzione:
$y(x)=1/4x^4(lnx+2)^2$
Avrei due questioni da risolvere:
1- Il risultato dell'equazione a me viene leggermente diverso. Ora vi illustro i passaggi velocemente:
ho posto $y^(1-1/2)=p$, quindi $y^(1/2)=p$, $y=p^2$, $y'=2pp'$. Sostituisco all'interno dell'eq ed ottengo:
$2pp'-4/xp^2=xp$ $Rightarrow$ $p'=2/xp+x/2$ ed è una eq.diff.non omog. Risolvo cosi:
$A(x)= 2\int(1/x)dx=2lnx$
$p(x)=e^(2lnx)[1/2\int(xe^-(2lnx) dx +c]=x^2[lnx/2+c]$ e risulta diverso dal vostro $x^2/2(lnx+c)$
2- Se volessi stabilire l'unicità della soluzione senza risolverlo dovrei verificare che la mia $f(x,y)$ sia continua nel dominio e inoltre (cond.lipschitzianità) che il limite della derivata parziale di $f(x,y)$ rispetto ad $y$ nel punto $1$ sia continuo anch'esso.
E' corretto?
Quindi facendo la derivata parziale della funzione con $x=1$ ottengo: $(\deltaf(x_0,y))/(\deltay)= 4+1/(2sqrt(y))$
$\Rightarrow$ $\lim_{y\to 1} 4+1/(2sqrt(y))=9/2 $, quindi la derivata è continua nel punto 1. Posso dire che ammette un'unica soluzione?
1- Il risultato dell'equazione a me viene leggermente diverso. Ora vi illustro i passaggi velocemente:
ho posto $y^(1-1/2)=p$, quindi $y^(1/2)=p$, $y=p^2$, $y'=2pp'$. Sostituisco all'interno dell'eq ed ottengo:
$2pp'-4/xp^2=xp$ $Rightarrow$ $p'=2/xp+x/2$ ed è una eq.diff.non omog. Risolvo cosi:
$A(x)= 2\int(1/x)dx=2lnx$
$p(x)=e^(2lnx)[1/2\int(xe^-(2lnx) dx +c]=x^2[lnx/2+c]$ e risulta diverso dal vostro $x^2/2(lnx+c)$
2- Se volessi stabilire l'unicità della soluzione senza risolverlo dovrei verificare che la mia $f(x,y)$ sia continua nel dominio e inoltre (cond.lipschitzianità) che il limite della derivata parziale di $f(x,y)$ rispetto ad $y$ nel punto $1$ sia continuo anch'esso.
E' corretto?
Quindi facendo la derivata parziale della funzione con $x=1$ ottengo: $(\deltaf(x_0,y))/(\deltay)= 4+1/(2sqrt(y))$
$\Rightarrow$ $\lim_{y\to 1} 4+1/(2sqrt(y))=9/2 $, quindi la derivata è continua nel punto 1. Posso dire che ammette un'unica soluzione?
Per quanto riguarda il primo punto:
rappresentano il medesimo integrale generale. Infatti:
visto che indicare la costante arbitraria come $c$ oppure $2c$ è del tutto irrilevante.
Per quanto riguarda il secondo punto, con le notazioni sottostanti:
se:
sono continue in un intorno di $(x_0,y_0)$, l'esistenza e l'unicità della soluzione è assicurata. Nel caso in esame:
sono evidentemente continue in un intorno di $(1,1)$.
$p(x)=x^2(lnx/2+c)$
$z(x)=1/2x^2(lnx+c)$
rappresentano il medesimo integrale generale. Infatti:
$p(x)=x^2(lnx/2+c)=1/2x^2(lnx+2c)=1/2x^2(lnx+c)=z(x)$
visto che indicare la costante arbitraria come $c$ oppure $2c$ è del tutto irrilevante.
Per quanto riguarda il secondo punto, con le notazioni sottostanti:
$[y'=f(x,y)] ^^ [y(x_0)=y_0]$
se:
$[f(x,y)] ^^ [(delf)/(dely)(x,y)]$
sono continue in un intorno di $(x_0,y_0)$, l'esistenza e l'unicità della soluzione è assicurata. Nel caso in esame:
$[f(x,y)=(4y)/x+xsqrty] ^^ [(delf)/(dely)(x,y)=4/x+x/(2sqrty)]$
sono evidentemente continue in un intorno di $(1,1)$.
"Dr.Hermann":
Il risultato dell'equazione a me viene leggermente diverso.
Perché dici ciò? Ti risulta
$p(x) = x^2[(lnx)/2 + c ] = 1/2 x^2 [lnx + 2c] = 1/2 x^2 (lnx + c) $
avendo richiamato con $c $ la costante $2c$ nell'ultimo passaggio. L'ultima espressione scritta non è altro che ciò che @anonymous_0b37e9 ha chiamato $z(x) $
@anonymous_0b37e9:
Non mi è del tutto chiaro il tuo ragionamento, ma magari sono io che mi sto perdendo qualcosa:
"anonymous_0b37e9":
In questo modo, essendo:
$y(x)=z^2(x)$
Da questa relazione scritta per $x = 1 $ si ottiene $1 = y(1) = z^2(1) \implies z_{1,2}(1) = \pm 1 $: in effetti dall'espressione di $z(x) $ si può verificare facilmente che può assumere anche il valore $- 1$. Perché allora
"anonymous_0b37e9":
[...] sulla funzione ausiliaria $z(x)$:
$[z(x)=1/2x^2(lnx+c)] ^^ [z(1)=1] rarr [c=2]$
Non è che invece quella radice quadrata nell'equazione differenziale (e di conseguenza poi il quadrato che ne deriva) invalida il discorso dell'unicità della soluzione del PdC che di solito sussiste?
@ pilloeffe
Essendo sicuro dell'unicità, mi sono limitato a fare una verifica:
soddisfa la condizione iniziale ma non soddisfa l'equazione differenziale. Quando si sostituisce:
Essendo sicuro dell'unicità, mi sono limitato a fare una verifica:
$y(x)=1/4x^4(lnx-2)^2$
soddisfa la condizione iniziale ma non soddisfa l'equazione differenziale. Quando si sostituisce:
$sqrt(y(x))=sqrt(1/4x^4(lnx-2)^2)=1/2x^2|lnx-2|$
Ok, visto. Grazie.
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