Equazione differenziale autonoma

[MrMojoRisin891]

Salve, vi chiedo aiuto per questa equazione differenziale autonoma (è la prima che incontro). Ho provato e riprovato ma non riesco a capire come affrontarla, c'è qualcuno che mi potrebbe risolvere questo PdC cercando di giustificare i passaggi? Vi ringrazio in anticipo.

$\{(y''=1/y(y')^2 - y'),(y(0)=1),(y'(0)=1):}$

[ciampax]

Il metodo standard consiste nell'effettuare un cambio di variabile dipendente e indipendente contemporaneamente. Si procede così: si pone $w(y)=y'(x)$ (cioè si pensa ad una nuova incognita $w$ come funzione della variabile $y$, che precedentemente rappresentava l'incognita). A questo punto per sostituire la derivata seconda della $y$ si applica la regola di derivazione delle funzioni composte
$$\frac{d^2 y}{dx^2}=\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)=\frac{d}{dx} w=\frac{dw}{dy}\cdot \frac{dy}{dx}=\dot{w}\cdot y'=\dot{w}\cdot w$$
(ho indicato con un punto la derivata rispetto alla variabile $y$). In tal modo l'equazione si riconduce a queste
$$w\dot{w}=\frac{1}{y} w^2-w$$
con condizione iniziale $w(y(0))=y'(0)\ \Rightarrow\ w(1)=1$. Dal momento che la soluzione nulla $w=0$ non soddisfa tale condizione, possiamo dividere l'equazione per $w$ e ottenere l'equazione lineare
$$\dot{w}-\frac{1}{y} w=-1$$
che dovresti saper risolvere. A questo punto ottieni una nuova equazione differenziale $y'(x)=w(y)$ che risulta a variabili separabili (con la condizione $y(0)=1$).

[MrMojoRisin891]

Risolta, grazie mille!