Equazione differenziale alle derivate parziali....
Posto nuovamente il messaggio di ieri, bloccato non a causa mia:
"Salve a tutti, avrei bisogno del vostro aiuto per la risoluzione della seguente equazione differenziale:
$ du/dt=v⋅d^2u/dy^2+F(t) $
"derivata di u rispetto a t è uguale a v per la derivata seconda di u rispetto ad y sommata ad una funzione di t"...
u è una funzione di y e t -----> u=u(y,t)
Per F(t) prendo in considerazione una funzione periodica:
$ F(t)=a⋅sin(wt) $
è importante che la F(t) venga espressa nel seguente modo:
$ F(t)=eiwt-e-iwt2i $
Vi prego aiutatemi, non sono molto pratico di equazioni differenziali alle derivate parziali...da quanto ho visto finora in rete mi pare di capire che non tutte ammettono una soluzione..."
Ho letto entrambe le soluzioni proposte: https://www.matematicamente.it/forum/equ ... tml#405404
Posto nuovamente questo messaggio per precisare le condizioni al contorno che ho nel mio caso:
intanto y appartiene ai numeri reali positivi compresi lo zero.. (scusate la mancanza di simbologia, ma non sò come inserire il simbolo di appartenenza ed infinito)
Nel mio caso ho inoltre che:
$ u(0, t) = 0 $ , con t appartenente ai reali positivi (indica un tempo)
$ (du/dy) = 0 $ , per $y = h$ essendo h un numero reale positivo noto
Potreste dirmi se vi sono soluzioni in questo caso? Intanto provo a trovarle anche io, ma così vedo se i conti da me fatti sono giusti...grazie...
"Salve a tutti, avrei bisogno del vostro aiuto per la risoluzione della seguente equazione differenziale:
$ du/dt=v⋅d^2u/dy^2+F(t) $
"derivata di u rispetto a t è uguale a v per la derivata seconda di u rispetto ad y sommata ad una funzione di t"...
u è una funzione di y e t -----> u=u(y,t)
Per F(t) prendo in considerazione una funzione periodica:
$ F(t)=a⋅sin(wt) $
è importante che la F(t) venga espressa nel seguente modo:
$ F(t)=eiwt-e-iwt2i $
Vi prego aiutatemi, non sono molto pratico di equazioni differenziali alle derivate parziali...da quanto ho visto finora in rete mi pare di capire che non tutte ammettono una soluzione..."
Ho letto entrambe le soluzioni proposte: https://www.matematicamente.it/forum/equ ... tml#405404
Posto nuovamente questo messaggio per precisare le condizioni al contorno che ho nel mio caso:
intanto y appartiene ai numeri reali positivi compresi lo zero.. (scusate la mancanza di simbologia, ma non sò come inserire il simbolo di appartenenza ed infinito)
Nel mio caso ho inoltre che:
$ u(0, t) = 0 $ , con t appartenente ai reali positivi (indica un tempo)
$ (du/dy) = 0 $ , per $y = h$ essendo h un numero reale positivo noto
Potreste dirmi se vi sono soluzioni in questo caso? Intanto provo a trovarle anche io, ma così vedo se i conti da me fatti sono giusti...grazie...
Risposte
@Alastor_88: Mi scuso con te, che eri del tutto incompevole, per aver chiuso il tuo thread; in quanto moderatore mi scuso anche per le intemperanze degli altri utenti che hanno causato la chiusura.
Spero tu non me ne voglia.
Spero tu non me ne voglia.
Di nulla, anzi sono io a ringraziarti per la celerità con cui mi hai risposto ieri 
, devo dire che questo è un forum molto serio, e il tuo stesso commento di ora lo dimostra! Tornando al problema, confido in una risposta celere anche stavolta 
, devo dire che questo è un forum molto serio, e il tuo stesso commento di ora lo dimostra! Tornando al problema, confido in una risposta celere anche stavolta
Insomma, vuoi risolvere qualcosa del genere:
[tex]$\begin{cases} u_t =v\ u_{yy} +f &\text{, in $]0,h[\times ]0,+\infty[$} \\ u=0 &\text{, su $\{ 0\} \times [0,+\infty[$} \\ u_y =0 &\text{, su $\{ h\} \times [0,+\infty[$} \end{cases}$[/tex],
con [tex]$v>0$[/tex] ed [tex]$f=f(t)$[/tex] (funzione della sola [tex]$t$[/tex]; in particolare [tex]$f(t)=\sin \omega t$[/tex]), che è un problema con sole condizioni al bordo del cilindro parabolico [tex]$[0,h]\times [0,+\infty[$[/tex]; anzi, sul bordo sinistro hai una condizione di tipo Dirichlet e sul bordo destro una condizione di Neuman, entrambe nulle.
(Che roba è? Conduzione di calore con una parete adiabatica in [tex]$h$[/tex]?)
Innanzitutto con la sostituzione:
[tex]$\begin{cases} y=h\ x \\ t=\frac{h^2}{v}\ \tau\end{cases}$[/tex]
si riesce a ricondurre il problema a:
[tex]$\begin{cases} u_\tau =u_{xx} +\phi &\text{, in $]0,1[\times ]0,+\infty[$} \\ u=0 &\text{, su $\{ 0\} \times [0,+\infty[$} \\ u_x =0 &\text{, su $\{ 1\} \times [0,+\infty[$} \end{cases}$[/tex],
in cui [tex]$\phi =\frac{h^2}{v}\ f$[/tex]; infatti gli operatori differenziali si trasformano come segue:
[tex]$\frac{\partial}{\partial t} =\frac{\partial}{\partial \tau}\ \frac{\text{d} \tau}{\text{d} t} = \frac{v}{h^2}\ \frac{\partial}{\partial \tau}$[/tex]
[tex]$\frac{\partial}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial x}\ \frac{\text{d} x}{\text{d} y} = \frac{1}{h}\ \frac{\partial}{\partial x} \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial^2}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}\ \frac{\partial}{\partial y} =\frac{1}{h^2}\ \frac{\partial^2}{\partial x^2}$[/tex]
pertanto l'equazione diventa:
[tex]$\frac{v}{h^2}\ u_\tau =\frac{v}{h^2}\ u_{xx} + \frac{v}{h^2}\ \left( \frac{h^2}{v}\ f\right) \quad \Leftrightarrow \quad u_\tau =u_{xx} +\phi$[/tex]
come si voleva; che le condizioni al bordo diventino quelle che ho scritto è più evidente.
Una volta eliminate le costanti di troppo, cerchiamo una soluzione.
Si può provare a spezzare il problema: ad esempio cercare [tex]$u$[/tex] nella forma [tex]$U+V$[/tex], in cui: la [tex]$U$[/tex] risolve l'equazione completa con condizione nulla anche sulla base del cilindro, cioè qualcosa del tipo [tex]$u=0\ \text{, su $[0,1]\times \{ 0\}$}$[/tex]; la [tex]$V$[/tex] soddisfa l'equazione omogenea (ossia senza [tex]$\phi$[/tex]) con le condizioni nulle solo sui bordi laterali del cilindro (ossia quelle assegnate nel tuo problema).
Se fosse possibile procedere in questo modo, la [tex]$V$[/tex] si determinerebbe separando le variabili, mentre per la [tex]$U$[/tex] la storia è un po' più complessa.
Insomma, per trovare [tex]$V$[/tex], te la scrivi come prodotto di una funzione della sola [tex]$x$[/tex] e di una della sola [tex]$\tau$[/tex]:
[tex]$V(x,\tau) =X(x)\ T(\tau)$[/tex]
e ti accorgi che il problema:
(*) [tex]$\begin{cases} V_\tau =V_{xx} &\text{, in $]0,1[\times ]0,+\infty[$} \\ V=0 &\text{, su $\{ 0\} \times [0,+\infty[$} \\ V_x=0 &\text{, su $\{ 1\}\times [0,+\infty[$}$}\end{cases}$[/tex]
si trasforma nella coppia di problemi:
[tex]$T^\prime =-\lambda^2 T \quad \text{e} \quad \begin{cases} X^{\prime \prime} +\lambda^2 X=0 \\ X(0)=0\\ X^\prime (1)=0\end{cases}$[/tex]
di cui il primo ha soluzioni del tipo [tex]$T(\tau ):=C\ e^{-\lambda^2\ \tau}$[/tex] ed il secondo ha soluzioni non banali (i.e. non identicamente nulle) se e solo se [tex]$\lambda <0$[/tex] e se ha soluzioni [tex]$A_1,A_2$[/tex] non banali il sistema:
[tex]$\begin{cases} A_1 =0 \\ -\lambda\ A_1 \sin \lambda +\lambda\ A_2 \cos \lambda =0\end{cases}$[/tex]
ottenuto imponendo le condizioni iniziali all'integrale generale [tex]$X(x)=A_1\cos \lambda\ x+A_2\sin \lambda\ x$[/tex]; il precedente sistema ha soluzioni non banali se e solo se risulta:
[tex]$\cos \lambda\ x=0 \quad \Leftrightarrow \quad \lambda =\frac{\pi}{2} +k\pi =\frac{\pi}{2} (1+2k)\qquad \text{con $k\in \mathbb{Z}$}$[/tex]
e tali soluzioni sono tutte e sole le funzioni della famiglia:
[tex]$X_k(x)=A_2\sin \frac{\pi}{2}(1+2k)\ x$[/tex]
al variare di [tex]$k\in \mathbb{Z}$[/tex] ed [tex]$A_2\in \mathbb{R}$[/tex].
Così hai determinato una famiglia:
[tex]$V_k(x,\tau)=A e^{-\frac{\pi^2}{4}(1+2k)^2 \tau} \sin \frac{\pi}{2}(1+2k)\ x$[/tex]
di soluzioni di (*), in cui [tex]$A=A_2C$[/tex] è una costante arbitraria e [tex]$k\in \mathbb{Z}$[/tex]; formalmente, se si scelgono "bene" le costanti [tex]$A_k$[/tex], allora la somma della serie:
[tex]$V(x,\tau)\sum_{k=-\infty}^{+\infty} A_k e^{-\frac{\pi^2}{4}(1+2k)^2 \tau} \sin \frac{\pi}{2}(1+2k)\ x$[/tex]
è ancora una soluzione di (*); anzi, visto che, fissato [tex]$h\in \mathbb{N}$[/tex], se si prendono [tex]$k=h$[/tex] e [tex]$\bar{k}=-(h+1)$[/tex] si trova (a meno della costante moltiplicativa) [tex]$V_k=V_{\bar{k}}$[/tex], la precedente serie si può riscrivere:
[tex]$V(x,\tau) =\sum_{h=0}^{+\infty} B_h e^{-\frac{\pi^2}{4}(1+2h)^2 \tau} \sin \frac{\pi}{2}(1+2h)\ x$[/tex]
(con [tex]$B_h=A_k-A_{\bar{k}}$[/tex]).
In questo modo hai determinato la tua [tex]$V(x,\tau)$[/tex] (a meno dei coefficienti [tex]$B_h$[/tex], che devono rimanere liberi perchè non hai una condizione sulla base del cilindro).
Per [tex]$U$[/tex] al momento non so come fare.
Sono secoli che non risolvo eplicitamente delle PDE.
P.S.: Data l'ora non sono nemmeno molto certo dei calcoli; ergo controllali bene.
[tex]$\begin{cases} u_t =v\ u_{yy} +f &\text{, in $]0,h[\times ]0,+\infty[$} \\ u=0 &\text{, su $\{ 0\} \times [0,+\infty[$} \\ u_y =0 &\text{, su $\{ h\} \times [0,+\infty[$} \end{cases}$[/tex],
con [tex]$v>0$[/tex] ed [tex]$f=f(t)$[/tex] (funzione della sola [tex]$t$[/tex]; in particolare [tex]$f(t)=\sin \omega t$[/tex]), che è un problema con sole condizioni al bordo del cilindro parabolico [tex]$[0,h]\times [0,+\infty[$[/tex]; anzi, sul bordo sinistro hai una condizione di tipo Dirichlet e sul bordo destro una condizione di Neuman, entrambe nulle.
(Che roba è? Conduzione di calore con una parete adiabatica in [tex]$h$[/tex]?)
Innanzitutto con la sostituzione:
[tex]$\begin{cases} y=h\ x \\ t=\frac{h^2}{v}\ \tau\end{cases}$[/tex]
si riesce a ricondurre il problema a:
[tex]$\begin{cases} u_\tau =u_{xx} +\phi &\text{, in $]0,1[\times ]0,+\infty[$} \\ u=0 &\text{, su $\{ 0\} \times [0,+\infty[$} \\ u_x =0 &\text{, su $\{ 1\} \times [0,+\infty[$} \end{cases}$[/tex],
in cui [tex]$\phi =\frac{h^2}{v}\ f$[/tex]; infatti gli operatori differenziali si trasformano come segue:
[tex]$\frac{\partial}{\partial t} =\frac{\partial}{\partial \tau}\ \frac{\text{d} \tau}{\text{d} t} = \frac{v}{h^2}\ \frac{\partial}{\partial \tau}$[/tex]
[tex]$\frac{\partial}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial x}\ \frac{\text{d} x}{\text{d} y} = \frac{1}{h}\ \frac{\partial}{\partial x} \quad \Rightarrow \quad \frac{\partial^2}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y}\ \frac{\partial}{\partial y} =\frac{1}{h^2}\ \frac{\partial^2}{\partial x^2}$[/tex]
pertanto l'equazione diventa:
[tex]$\frac{v}{h^2}\ u_\tau =\frac{v}{h^2}\ u_{xx} + \frac{v}{h^2}\ \left( \frac{h^2}{v}\ f\right) \quad \Leftrightarrow \quad u_\tau =u_{xx} +\phi$[/tex]
come si voleva; che le condizioni al bordo diventino quelle che ho scritto è più evidente.
Una volta eliminate le costanti di troppo, cerchiamo una soluzione.
Si può provare a spezzare il problema: ad esempio cercare [tex]$u$[/tex] nella forma [tex]$U+V$[/tex], in cui: la [tex]$U$[/tex] risolve l'equazione completa con condizione nulla anche sulla base del cilindro, cioè qualcosa del tipo [tex]$u=0\ \text{, su $[0,1]\times \{ 0\}$}$[/tex]; la [tex]$V$[/tex] soddisfa l'equazione omogenea (ossia senza [tex]$\phi$[/tex]) con le condizioni nulle solo sui bordi laterali del cilindro (ossia quelle assegnate nel tuo problema).
Se fosse possibile procedere in questo modo, la [tex]$V$[/tex] si determinerebbe separando le variabili, mentre per la [tex]$U$[/tex] la storia è un po' più complessa.
Insomma, per trovare [tex]$V$[/tex], te la scrivi come prodotto di una funzione della sola [tex]$x$[/tex] e di una della sola [tex]$\tau$[/tex]:
[tex]$V(x,\tau) =X(x)\ T(\tau)$[/tex]
e ti accorgi che il problema:
(*) [tex]$\begin{cases} V_\tau =V_{xx} &\text{, in $]0,1[\times ]0,+\infty[$} \\ V=0 &\text{, su $\{ 0\} \times [0,+\infty[$} \\ V_x=0 &\text{, su $\{ 1\}\times [0,+\infty[$}$}\end{cases}$[/tex]
si trasforma nella coppia di problemi:
[tex]$T^\prime =-\lambda^2 T \quad \text{e} \quad \begin{cases} X^{\prime \prime} +\lambda^2 X=0 \\ X(0)=0\\ X^\prime (1)=0\end{cases}$[/tex]
di cui il primo ha soluzioni del tipo [tex]$T(\tau ):=C\ e^{-\lambda^2\ \tau}$[/tex] ed il secondo ha soluzioni non banali (i.e. non identicamente nulle) se e solo se [tex]$\lambda <0$[/tex] e se ha soluzioni [tex]$A_1,A_2$[/tex] non banali il sistema:
[tex]$\begin{cases} A_1 =0 \\ -\lambda\ A_1 \sin \lambda +\lambda\ A_2 \cos \lambda =0\end{cases}$[/tex]
ottenuto imponendo le condizioni iniziali all'integrale generale [tex]$X(x)=A_1\cos \lambda\ x+A_2\sin \lambda\ x$[/tex]; il precedente sistema ha soluzioni non banali se e solo se risulta:
[tex]$\cos \lambda\ x=0 \quad \Leftrightarrow \quad \lambda =\frac{\pi}{2} +k\pi =\frac{\pi}{2} (1+2k)\qquad \text{con $k\in \mathbb{Z}$}$[/tex]
e tali soluzioni sono tutte e sole le funzioni della famiglia:
[tex]$X_k(x)=A_2\sin \frac{\pi}{2}(1+2k)\ x$[/tex]
al variare di [tex]$k\in \mathbb{Z}$[/tex] ed [tex]$A_2\in \mathbb{R}$[/tex].
Così hai determinato una famiglia:
[tex]$V_k(x,\tau)=A e^{-\frac{\pi^2}{4}(1+2k)^2 \tau} \sin \frac{\pi}{2}(1+2k)\ x$[/tex]
di soluzioni di (*), in cui [tex]$A=A_2C$[/tex] è una costante arbitraria e [tex]$k\in \mathbb{Z}$[/tex]; formalmente, se si scelgono "bene" le costanti [tex]$A_k$[/tex], allora la somma della serie:
[tex]$V(x,\tau)\sum_{k=-\infty}^{+\infty} A_k e^{-\frac{\pi^2}{4}(1+2k)^2 \tau} \sin \frac{\pi}{2}(1+2k)\ x$[/tex]
è ancora una soluzione di (*); anzi, visto che, fissato [tex]$h\in \mathbb{N}$[/tex], se si prendono [tex]$k=h$[/tex] e [tex]$\bar{k}=-(h+1)$[/tex] si trova (a meno della costante moltiplicativa) [tex]$V_k=V_{\bar{k}}$[/tex], la precedente serie si può riscrivere:
[tex]$V(x,\tau) =\sum_{h=0}^{+\infty} B_h e^{-\frac{\pi^2}{4}(1+2h)^2 \tau} \sin \frac{\pi}{2}(1+2h)\ x$[/tex]
(con [tex]$B_h=A_k-A_{\bar{k}}$[/tex]).
In questo modo hai determinato la tua [tex]$V(x,\tau)$[/tex] (a meno dei coefficienti [tex]$B_h$[/tex], che devono rimanere liberi perchè non hai una condizione sulla base del cilindro).
Per [tex]$U$[/tex] al momento non so come fare.
Sono secoli che non risolvo eplicitamente delle PDE.
P.S.: Data l'ora non sono nemmeno molto certo dei calcoli; ergo controllali bene.
Mi era stato consigliato di imporre una soluzione del tipo:
$ u(y, t) = a(y) * e^dt $
Questa secondo voi è una strada percorribile?
$ u(y, t) = a(y) * e^dt $
Questa secondo voi è una strada percorribile?
Ok, appoggiandomi anche con un libro del prof. Salsa sulle derivate parziali, ho studiato bene i vari passaggi capendoli.
Ho un solo due dubbi sullo svolgimento:
1) $\cos \lambda\ x=0 \quad \Leftrightarrow \quad \lambda =\frac{\pi}{2} +k\pi =\frac{\pi}{2} (1+2k) $
Se ho capito bene, visto che questa condizione si ottiene considerando la derivata rispetto ad y della funzione calcolata per y=h, e ponendo questa uguale a 0, dovrebbe essere:
$\cos \lambda\ h=0 $ $ rarr $ $ lambda = 1/h * \frac{\pi}{2} +k\pi =1/h * \frac{\pi}{2} (1+2k) $
Cioè ci vuole un $ 1/h $ a moltiplicare.
E' giusto?
2) Un altro dubbio riguarda la sommatoria:
Noi abbiamo trovato una famiglia di soluzioni, che al variare di k, rappresentano infinite soluzioni della nostra omogenea associata.
Che bisogno c'è di sommare queste soluzioni?
Inoltre se ho ben capito i passaggi, visto che con il metodo della separazione delle variabili, ci riconduciamo alla soluzione di equazioni diff. a coefficienti costanti, le soluzioni trovate, e quindi la famiglia di soluzioni scritta, rappresenta l'unica famiglia di soluzioni possibile. E' così?
Ringrazio tutti coloro che risponderanno
Ho un solo due dubbi sullo svolgimento:
1) $\cos \lambda\ x=0 \quad \Leftrightarrow \quad \lambda =\frac{\pi}{2} +k\pi =\frac{\pi}{2} (1+2k) $
Se ho capito bene, visto che questa condizione si ottiene considerando la derivata rispetto ad y della funzione calcolata per y=h, e ponendo questa uguale a 0, dovrebbe essere:
$\cos \lambda\ h=0 $ $ rarr $ $ lambda = 1/h * \frac{\pi}{2} +k\pi =1/h * \frac{\pi}{2} (1+2k) $
Cioè ci vuole un $ 1/h $ a moltiplicare.
E' giusto?
2) Un altro dubbio riguarda la sommatoria:
Noi abbiamo trovato una famiglia di soluzioni, che al variare di k, rappresentano infinite soluzioni della nostra omogenea associata.
Che bisogno c'è di sommare queste soluzioni?
Inoltre se ho ben capito i passaggi, visto che con il metodo della separazione delle variabili, ci riconduciamo alla soluzione di equazioni diff. a coefficienti costanti, le soluzioni trovate, e quindi la famiglia di soluzioni scritta, rappresenta l'unica famiglia di soluzioni possibile. E' così?
Ringrazio tutti coloro che risponderanno
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