Equazione differenziale alle derivate parziali....
Salve a tutti, avrei bisogno del vostro aiuto per la risoluzione della seguente equazione differenziale:
$ (du)/(dt) = v * (d^2 u)/(dy^2) + F(t) $
"derivata di u rispetto a t è uguale a v per la derivata seconda di u rispetto ad y sommata ad una funzione di t"...
$u$ è una funzione di $y$ e $t$ -----> $u = u(y, t)$
Per $F(t)$ prendo in considerazione una funzione periodica:
$ F(t) = a * sin (wt) $
è importante che la $F(t)$ venga espressa nel seguente modo:
$ F(t) = (e^(iwt) - e^(-iwt))/(2i) $
Vi prego aiutatemi, non sono molto pratico di equazioni differenziali alle derivate parziali...da quanto ho visto finora in rete mi pare di capire che non tutte ammettono una soluzione...
$ (du)/(dt) = v * (d^2 u)/(dy^2) + F(t) $
"derivata di u rispetto a t è uguale a v per la derivata seconda di u rispetto ad y sommata ad una funzione di t"...
$u$ è una funzione di $y$ e $t$ -----> $u = u(y, t)$
Per $F(t)$ prendo in considerazione una funzione periodica:
$ F(t) = a * sin (wt) $
è importante che la $F(t)$ venga espressa nel seguente modo:
$ F(t) = (e^(iwt) - e^(-iwt))/(2i) $
Vi prego aiutatemi, non sono molto pratico di equazioni differenziali alle derivate parziali...da quanto ho visto finora in rete mi pare di capire che non tutte ammettono una soluzione...
Risposte
Questa è un'equazione parabolica: praticamente è l'equazione del calore non omogenea.
Come saprai (se hai studiato un po' di Analisi di base), per risolvere un'equazione differenziale bisogna aggiungere qualche condizione iniziale.
Ad esempio, mettiamo il caso (più semplice) in cui il problema è definito per [tex]$(y,t)\in \mathbb{R} \times ]0,+\infty [$[/tex] ed all'equazione accoppiamo la condizione iniziale nulla, ossia vogliamo risolvere:
[tex]$\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t} (y,t)=v\ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}(y,t) +F(t) &\text{, per } (y,t)\in \mathbb{R} \times ]0,+\infty[ \\ u(y,0)=0 &\text{, per } y\in \mathbb{R}\end{cases}$[/tex].
In tal caso il problema ha soluzione; tale soluzione si rappresenta mediante la convoluzione con la soluzione fondamentale dell'equazione del calore, che è:
[tex]$\Phi (y,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi vt}}\ \exp\left( -\frac{y^2}{4vt}\right)$[/tex] (qui e nel seguito uso [tex]$\exp(z):=e^z$[/tex]);
in altre parole la soluzione è definita come segue:
[tex]$u(y,t):=\int_0^t \left\{ \int_{-\infty}^{+\infty} \Phi (y-x,t-s)\ F(t-s)\text{d} x\right\}\ \text{d} s$[/tex]
[tex]$=\int_0^t \left\{ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{4\pi v(t-s)}}\ \exp \left(-\frac{(y-x)^2}{4v(t-s)}\right) \ F(t-s) \ \text{d} x\right\} \text{d} s$[/tex]...
Va da sé che la soluzione scritta così non è maneggevole.
Però se tieni presente che [tex]$F(t-s)$[/tex] non dipende da [tex]$x$[/tex] e che:
[tex]$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{4\pi v(t-s)}}\ \exp \left(-\frac{(y-x)^2}{4v(t-s)}\right) \ \text{d} x =1$[/tex]
(per stabilire ciò basta fare la sostituzione [tex]$z=\frac{y-x}{\sqrt{4v(t-s)}}$[/tex] e ricordare che [tex]$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-z^2}\ \text{d} z=\sqrt{\pi}$[/tex]), allora puoi scrivere:
[tex]$u(y,t)=\int_0^t F(t-s)\ \text{d} s =$[/tex] (fatta la sostituzione [tex]$\tau =t-s$[/tex])
[tex]$=\int_0^t F(\tau)\ \text{d} \tau$[/tex]
e si vede subito che la funzione (semplicissima!) così trovata è soluzione del problema.
Il fatto che [tex]$u(y,t)$[/tex] si esprima semplicemente è dovuto sia al fatto che [tex]$F$[/tex] dipende solo dalla variabile temporale, sia all'aver imposto condizioni iniziali semplici (infatti se avessimo imposto [tex]$u(y,0)=g(y)$[/tex] avremmo dovuto aggiungere un altro integrale alla rappresentazione della soluzione, che non si sarebbe semplificato a meno d'un grosso colpo di fortuna).
Se il problema è più complesso, puoi provare con la trasformata di Fourier nella variabile spaziale... Però sarebbe meglio che ti leggessi un bel libro su queste cose, altrimenti dubito che tu possa capire qualcosa.
Un buon testo, sebbene un po' datato, è Weinberger, A First Course in Partial Differential Equations: with Complex Variables and Transform Methods, Dover, in cui c'è spiegato pure il metodo della trasformata di Fourier.
Come saprai (se hai studiato un po' di Analisi di base), per risolvere un'equazione differenziale bisogna aggiungere qualche condizione iniziale.
Ad esempio, mettiamo il caso (più semplice) in cui il problema è definito per [tex]$(y,t)\in \mathbb{R} \times ]0,+\infty [$[/tex] ed all'equazione accoppiamo la condizione iniziale nulla, ossia vogliamo risolvere:
[tex]$\begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t} (y,t)=v\ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}(y,t) +F(t) &\text{, per } (y,t)\in \mathbb{R} \times ]0,+\infty[ \\ u(y,0)=0 &\text{, per } y\in \mathbb{R}\end{cases}$[/tex].
In tal caso il problema ha soluzione; tale soluzione si rappresenta mediante la convoluzione con la soluzione fondamentale dell'equazione del calore, che è:
[tex]$\Phi (y,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi vt}}\ \exp\left( -\frac{y^2}{4vt}\right)$[/tex] (qui e nel seguito uso [tex]$\exp(z):=e^z$[/tex]);
in altre parole la soluzione è definita come segue:
[tex]$u(y,t):=\int_0^t \left\{ \int_{-\infty}^{+\infty} \Phi (y-x,t-s)\ F(t-s)\text{d} x\right\}\ \text{d} s$[/tex]
[tex]$=\int_0^t \left\{ \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{4\pi v(t-s)}}\ \exp \left(-\frac{(y-x)^2}{4v(t-s)}\right) \ F(t-s) \ \text{d} x\right\} \text{d} s$[/tex]...
Va da sé che la soluzione scritta così non è maneggevole.
Però se tieni presente che [tex]$F(t-s)$[/tex] non dipende da [tex]$x$[/tex] e che:
[tex]$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt{4\pi v(t-s)}}\ \exp \left(-\frac{(y-x)^2}{4v(t-s)}\right) \ \text{d} x =1$[/tex]
(per stabilire ciò basta fare la sostituzione [tex]$z=\frac{y-x}{\sqrt{4v(t-s)}}$[/tex] e ricordare che [tex]$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-z^2}\ \text{d} z=\sqrt{\pi}$[/tex]), allora puoi scrivere:
[tex]$u(y,t)=\int_0^t F(t-s)\ \text{d} s =$[/tex] (fatta la sostituzione [tex]$\tau =t-s$[/tex])
[tex]$=\int_0^t F(\tau)\ \text{d} \tau$[/tex]
e si vede subito che la funzione (semplicissima!) così trovata è soluzione del problema.
Il fatto che [tex]$u(y,t)$[/tex] si esprima semplicemente è dovuto sia al fatto che [tex]$F$[/tex] dipende solo dalla variabile temporale, sia all'aver imposto condizioni iniziali semplici (infatti se avessimo imposto [tex]$u(y,0)=g(y)$[/tex] avremmo dovuto aggiungere un altro integrale alla rappresentazione della soluzione, che non si sarebbe semplificato a meno d'un grosso colpo di fortuna).
Se il problema è più complesso, puoi provare con la trasformata di Fourier nella variabile spaziale... Però sarebbe meglio che ti leggessi un bel libro su queste cose, altrimenti dubito che tu possa capire qualcosa.
Un buon testo, sebbene un po' datato, è Weinberger, A First Course in Partial Differential Equations: with Complex Variables and Transform Methods, Dover, in cui c'è spiegato pure il metodo della trasformata di Fourier.
Io avrei una soluzione più semplice (mamma mia !! 
) ) che parte dall'ipotesi che v e w
siano costanti date .Intanto provo a trovare una soluzione particolare del tipo:
$u_o=p *sin (wt)+q* cos (wt)$.Facendo $F(t)=a*sin (wt)$ e sostituendo trovo $p=0 ,q= -a/w$
e quindi $u_o=-a/w *cos ( wt)$
Andiamo ora all'equazione omogenea associata $v*(del ^2 u )/(del y^2)-(del u)/( del t)=0 $
e proviamo ad applicare la separazione delle variabili ponendo u(y,t)=Y(y)*T(t).
Sostituendo si ha $vY''*T-Y *T'=0$ oppure $v(Y'')/Y=(T')/T$ e poichè il primo membro
è funzione della sola y mentre il secondo della sola t ,l'eguaglianza può reggere solo
se entrambi i membri sono uguali ad una costante k:
$(T')/T=k$, $v(Y'')/Y=k$ ovvero $T'-kT=0$ e $Y''-k/v*Y=0$
La prima equazione differenziale (ordinaria) è facile da risolvere e dà $T(t)=Ae^(kt)$
La seconda andrebbe risolta esaminando il segno del rapporto k/v.Io ipotizzo che
sia k/v>0 ,percui la soluzione è $Y(y)=B*e^(-y sqrt(k/v))+C*e^(y sqrt(k/v))$
In questo modo la soluzione dell'equazione omogenea diventa
$u=AB*e^(kt-y sqrt(k/v))+AC*e^(kt+y sqrt(k/v))$
e la soluzione copmpleta è :
$u=-a/w *cos ( wt)+AB*e^(kt-y sqrt(k/v))+AC*e^(kt+y sqrt(k/v))$
dove AB e AC si possono considerare come due costanti che potremmo indicare con M ed N.
Le condizioni iniziali determinano le costanti M ,N,k.Forse ho scritto put****** ma chi " non risica non rosica" .
Nemmeno in matematica ...
[OT]Oggi pomeriggio metto un post su Di Pietro.Non ve la prenderete a male come avete fatto
con Santoro,spero !
[OT]
) ) che parte dall'ipotesi che v e w siano costanti date .Intanto provo a trovare una soluzione particolare del tipo:
$u_o=p *sin (wt)+q* cos (wt)$.Facendo $F(t)=a*sin (wt)$ e sostituendo trovo $p=0 ,q= -a/w$
e quindi $u_o=-a/w *cos ( wt)$
Andiamo ora all'equazione omogenea associata $v*(del ^2 u )/(del y^2)-(del u)/( del t)=0 $
e proviamo ad applicare la separazione delle variabili ponendo u(y,t)=Y(y)*T(t).
Sostituendo si ha $vY''*T-Y *T'=0$ oppure $v(Y'')/Y=(T')/T$ e poichè il primo membro
è funzione della sola y mentre il secondo della sola t ,l'eguaglianza può reggere solo
se entrambi i membri sono uguali ad una costante k:
$(T')/T=k$, $v(Y'')/Y=k$ ovvero $T'-kT=0$ e $Y''-k/v*Y=0$
La prima equazione differenziale (ordinaria) è facile da risolvere e dà $T(t)=Ae^(kt)$
La seconda andrebbe risolta esaminando il segno del rapporto k/v.Io ipotizzo che
sia k/v>0 ,percui la soluzione è $Y(y)=B*e^(-y sqrt(k/v))+C*e^(y sqrt(k/v))$
In questo modo la soluzione dell'equazione omogenea diventa
$u=AB*e^(kt-y sqrt(k/v))+AC*e^(kt+y sqrt(k/v))$
e la soluzione copmpleta è :
$u=-a/w *cos ( wt)+AB*e^(kt-y sqrt(k/v))+AC*e^(kt+y sqrt(k/v))$
dove AB e AC si possono considerare come due costanti che potremmo indicare con M ed N.
Le condizioni iniziali determinano le costanti M ,N,k.Forse ho scritto put****** ma chi " non risica non rosica" .
Nemmeno in matematica ...
[OT]Oggi pomeriggio metto un post su Di Pietro.Non ve la prenderete a male come avete fatto
con Santoro,spero !
[OT]
[OT]
Due osservazioni:
1. La politica va affrontata in Generale; come ho detto altre volte ad altri utenti, qui non voglio che si faccia riferimento a tali questioni.
2. Non me la sono presa, se non per il decoro del forum.
Detto fuori dai denti, non credo che interventi come il tuo di ieri abbiano qualche significato*; sono solo insulsi tentativi di trollaggio e come tali andrebbero stroncati sul nascere.
__________
* Forse li si potrebbe interpretare sociologicamente, come conferme dell'abbassamento sostanziale del livello culturale nella contrapposizione politica visto in questi ultimi vent'anni; ma non sono un sociologo.
[/OT]
"nico39":
Oggi pomeriggio metto un post su Di Pietro. Non ve la prenderete a male come avete fatto
con Santoro,spero !
Due osservazioni:
1. La politica va affrontata in Generale; come ho detto altre volte ad altri utenti, qui non voglio che si faccia riferimento a tali questioni.
2. Non me la sono presa, se non per il decoro del forum.
Detto fuori dai denti, non credo che interventi come il tuo di ieri abbiano qualche significato*; sono solo insulsi tentativi di trollaggio e come tali andrebbero stroncati sul nascere.
__________
* Forse li si potrebbe interpretare sociologicamente, come conferme dell'abbassamento sostanziale del livello culturale nella contrapposizione politica visto in questi ultimi vent'anni; ma non sono un sociologo.
[/OT]
Quanta esagerazione nelle risposte di questo Gugo.Del resto ne avevo avuto le avvisaglie
guardando i "rilassanti" disegnini sul "troll" ! "Sociologicamente" parlando ,penso che l'Amministratore
gli dovrebbe concedere un congruo periodo di riposo.
guardando i "rilassanti" disegnini sul "troll" ! "Sociologicamente" parlando ,penso che l'Amministratore
gli dovrebbe concedere un congruo periodo di riposo.
[OT, l'ultimo]
Periodo di riposo, sì probabilmente... Certo che consigliato da te, esperto di "ban ogni venti post per manifesta idiozia"*, è meglio che sentirselo dire dal medico condotto.
Se vuoi continuare la discussione ti invito ad usare i PM.
Ogni altro intervento non inerente l'Analisi verrà cestinato.
__________
* Ricordo un adesivo che si trovava sui bus anni fa: Borseggiatore, so chi sei, non mi freghi!
[/OT]
"nico39":
Quanta esagerazione nelle risposte di questo Gugo.Del resto ne avevo avuto le avvisaglie
guardando i "rilassanti" disegnini sul "troll" ! "Sociologicamente" parlando ,penso che l'Amministratore
gli dovrebbe concedere un congruo periodo di riposo.
Periodo di riposo, sì probabilmente... Certo che consigliato da te, esperto di "ban ogni venti post per manifesta idiozia"*, è meglio che sentirselo dire dal medico condotto.
Se vuoi continuare la discussione ti invito ad usare i PM.
Ogni altro intervento non inerente l'Analisi verrà cestinato.
__________
* Ricordo un adesivo che si trovava sui bus anni fa: Borseggiatore, so chi sei, non mi freghi!
[/OT]
La soluzione di gugo ? Un esempio di megalomania applicata alla matematica ...
[xdom="gugo82"]Chiudo.
Proporrò di prendere provvedimenti; dopotutto eri stato avvertito.[/xdom]
[xdom="gugo82"]Chiudo.
Proporrò di prendere provvedimenti; dopotutto eri stato avvertito.[/xdom]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo