Equazione differenziale alle derivate parziali
Esercizio urgentissimo.
Risolvere utilizzando la trasformata di Fourier:
$(delu)/(delt) - (del^2u)/(del^2x) = 0$
$u (0,x) = e^(-x^2)$
Sò che $hat u'' = - chi^2 hat u$, quindi:
$(del hat u)/(delt) + chi^2 hat u = 0.
Da qui ricavo che $hat u = e^(-t chi^2) C$
Siccome sò anche che la trasformata di Fourier della gaussiana è $sqrt(Pi) e^(-chi^2/4)$, considerando le condizioni iniziali ottengo
$hat u =sqrt(Pi) e^(-chi^2/4) e^(-t chi^2)$
Ora calcolo la serie di Fourier della funzione $u$:
$u (t,x) = 1/(2Pi) int_(-infty)^(+infty) e^(-i chi x) hat u dchi = 1/(2Pi) int_(-infty)^(+infty) e^(-i chi x) sqrt(Pi) e^(-chi^2/4) e^(-t chi^2) dchi$
Come faccio a risolvere questo integrale?
La soluzione dovrebbe essere $u (t,x) = 1/sqrt(4 t + 1) e^(-x^2/(4 t + 1))$
Grazie dell'aiuto.
Risolvere utilizzando la trasformata di Fourier:
$(delu)/(delt) - (del^2u)/(del^2x) = 0$
$u (0,x) = e^(-x^2)$
Sò che $hat u'' = - chi^2 hat u$, quindi:
$(del hat u)/(delt) + chi^2 hat u = 0.
Da qui ricavo che $hat u = e^(-t chi^2) C$
Siccome sò anche che la trasformata di Fourier della gaussiana è $sqrt(Pi) e^(-chi^2/4)$, considerando le condizioni iniziali ottengo
$hat u =sqrt(Pi) e^(-chi^2/4) e^(-t chi^2)$
Ora calcolo la serie di Fourier della funzione $u$:
$u (t,x) = 1/(2Pi) int_(-infty)^(+infty) e^(-i chi x) hat u dchi = 1/(2Pi) int_(-infty)^(+infty) e^(-i chi x) sqrt(Pi) e^(-chi^2/4) e^(-t chi^2) dchi$
Come faccio a risolvere questo integrale?
La soluzione dovrebbe essere $u (t,x) = 1/sqrt(4 t + 1) e^(-x^2/(4 t + 1))$
Grazie dell'aiuto.
Risposte
Prova a fare la seguente sostituzione nell'integrale:
[tex]\chi \mapsto 2\frac{\chi}{\sqrt{4t + 1}}[/tex]
e successivamente utilizza la formula dell'antitrasformata di Fourier per la Gaussiana.
[tex]\chi \mapsto 2\frac{\chi}{\sqrt{4t + 1}}[/tex]
e successivamente utilizza la formula dell'antitrasformata di Fourier per la Gaussiana.
bella domanda vincenzo.. tanto dopodomani prendi 30 e lode con fausto.ma se la condizione iniziale fosse stata $u(0,x)=g(x)$ come la risolvevo la PDE?
scusate per gli errori ortografici
vincenzo hai sbagliato a scrivere nell ultimo e nel penultimo integrale . Il meno non ci va nell esponente del numero di Nepero.
Hai ragione...l'integrale corretto è
$u (x,t) = 1/(2 pi) int_(-infty)^(+infty) e^(i chi x) hat u dchi$
Sul voto, comunque, ho dei seri dubbi...
Ora provo a fare la sostituzione proposta da pat87 e poi vediamo un pò che succede...
Se la condizione iniziale fosse stata $u (0,x) = g(x)$ l'integrale sarebe stato il seguente:
$u (x,t) = 1/(2 pi) int_(-infty)^(+infty) e^(t(i x chi - chi^2)) hat g(chi) dchi$
Anche qui i soliti problemi...se l'esponente di $e$ fosse stato di primo grado l'esercizio sarebbe stato uno scherzo, in quanto il suo coefficiente (funzione di $t$ e $x$) sarebbe stato l'argomento di $g$.
Se, infatti, hai in generale un integrale del tipo
$u (x,t) = 1/(2 pi) int_(-infty)^(+infty) e^(i chi f(x,t)) hat g dchi$ , allora puoi concludere subito che $g = g(f(x,t))$
$u (x,t) = 1/(2 pi) int_(-infty)^(+infty) e^(i chi x) hat u dchi$
Sul voto, comunque, ho dei seri dubbi...
Ora provo a fare la sostituzione proposta da pat87 e poi vediamo un pò che succede...
Se la condizione iniziale fosse stata $u (0,x) = g(x)$ l'integrale sarebe stato il seguente:
$u (x,t) = 1/(2 pi) int_(-infty)^(+infty) e^(t(i x chi - chi^2)) hat g(chi) dchi$
Anche qui i soliti problemi...se l'esponente di $e$ fosse stato di primo grado l'esercizio sarebbe stato uno scherzo, in quanto il suo coefficiente (funzione di $t$ e $x$) sarebbe stato l'argomento di $g$.
Se, infatti, hai in generale un integrale del tipo
$u (x,t) = 1/(2 pi) int_(-infty)^(+infty) e^(i chi f(x,t)) hat g dchi$ , allora puoi concludere subito che $g = g(f(x,t))$
vincenzo... ci sono riuscito a risolvere il tuo integrale.ci sono volute 2 pagine di calcoli.. lunedi^ ti faccio vedere.
"baldo89":
vincenzo... ci sono riuscito a risolvere il tuo integrale.ci sono volute 2 pagine di calcoli.. lunedi^ ti faccio vedere.
Non vedo l'ora....
Hai usato la sostituzione di pat 87? Io non riesco a cavarne fuori nulla (spero che intervenga ancora)
Io ho combinato qualcosa, ma ad un certo punto mi blocco:
L'integrale è $1/(2 pi) int e^(i chi x - t chi^2 - (chi^2)/4) sqrt(pi) dchi = 1/(2 sqrt(pi)) int e^(i chi x - chi^2 ((4 t + 1)/4)) dchi$
A questo punto ho posto $chi = (4 i x)/(4 t + 1) 2 p$ da cui $dchi = (8 i x)/(4 t + 1) dp$
Sostituendo ho trovato $1/(2 sqrt(pi)) int (e^((-4 x^2)/(4 t + 1) 2p + (16 x^2)/(4 t + 1)^2 (4 t + 1)/4 4p^2)) (8 i x)/(4 t + 1) dp$
Sempificando un pò e tirando fuori le costanti ottengo:
$(4 i x)/((4t + 1)sqrt(pi)) int e^((x^2)/(4 t + 1) (16 p^2 - 8 p)) dp$
Ora considero che $16 p^2 - 8 p = (4 p - 1)^2 -1$, per cui:
$(4 i x)/((4 t + 1)sqrt(pi)) e^((-x^2)/(4 t + 1)) int e^((x^2)/(4 t + 1) (4 p - 1)^2) dp$
Dentro l'integrale ho un'esponenziale che però non riesco a ricondurre ad una gaussiana...
non ho usato la sostituzione di pat87.. ho cercato di ricondurmi all integrale della gaussiana senza usare cambi di variabile. prova a trasformare l^ esponente del secondo integrale in un quadrato di binomio
dovrebbe venire anche come hai fatto tu ... nell ultimo integrale prova a portare dentro il quadrato di binomio$ x^2/(4t+1)$. dopodiché risolvi l^ integrale
quando lo porti dentro diventa : $ x/(sqrt(4t+1))$
Eureka...
Ho fatto così (piccola variante...)
$chi = - (4 i x)/(4t + 1) 2p$
Sostituendo e facendo i calcoli come prima arrivo a:
$- (4 i x)/((4t + 1)sqrt(pi)) e^(-(x^2)/(4 t + 1)) int e^((x^2)/(4 t + 1) (4 p + 1)^2) dp$
Ora pongo $-s^2 = (4 p + 1)^2$ cioè $i s = 4 p + 1$ e $dp = i/4 ds$
Andando a mettere dentro trovo $x/((4 t + 1)sqrt(pi)) e^((-x^2)/(4 t + 1)) int e^(-(x^2)/(4 t + 1) s^2)ds$
Sò (dall'Adams) che $int_(-infty)^(+infty) e^(-ax^2) = sqrt(pi/a)$, per cui:
$x/((4 t + 1)sqrt(pi)) e^((-x^2)/(4 t + 1)) sqrt(pi) sqrt(4 t + 1) 1/x = 1/sqrt(4 t + 1) e^((-x^2)/(4 t + 1))$
Ho fatto così (piccola variante...)
$chi = - (4 i x)/(4t + 1) 2p$
Sostituendo e facendo i calcoli come prima arrivo a:
$- (4 i x)/((4t + 1)sqrt(pi)) e^(-(x^2)/(4 t + 1)) int e^((x^2)/(4 t + 1) (4 p + 1)^2) dp$
Ora pongo $-s^2 = (4 p + 1)^2$ cioè $i s = 4 p + 1$ e $dp = i/4 ds$
Andando a mettere dentro trovo $x/((4 t + 1)sqrt(pi)) e^((-x^2)/(4 t + 1)) int e^(-(x^2)/(4 t + 1) s^2)ds$
Sò (dall'Adams) che $int_(-infty)^(+infty) e^(-ax^2) = sqrt(pi/a)$, per cui:
$x/((4 t + 1)sqrt(pi)) e^((-x^2)/(4 t + 1)) sqrt(pi) sqrt(4 t + 1) 1/x = 1/sqrt(4 t + 1) e^((-x^2)/(4 t + 1))$
vinx sei sempre il migliore... ma ricorda che come dice Fausto $30lode+x=30lode$.ma come ti é venuta in mente la sostituzione iniziale?non ci sarei mai arrivato..
"baldo89":
vinx sei sempre il migliore... ma ricorda che come dice Fausto $30lode+x=30lode$.ma come ti é venuta in mente la sostituzione iniziale?non ci sarei mai arrivato..
Guarda che ci sei arrivato prima tu alla soluzione, quindi onore al merito...
La sostituzione l'ho trovata dopo cinque ore di delirio assoluto...ma non è troppo ragionata, è più che altro intuitiva:
Ho notato che l'esponente del numero di Nepero si annulla per $chi = (4 i x)/(4 t + 1)$ (basta porre $i x chi - chi^2(4 t + 1)/4 = 0$ e scartare $chi = 0$)
Allora ho comiciato a cercare qualcosa che mi annullasse efettivamente l'esponente, oppure mi permettesse di fare delle messe in evidenza utili...
Ho provato con $chi = (4 i x)/(4 t + 1) p$, ma per un soffio non ho trovato un quadrato di binomio....ho messo $2p$ al posto di $p$, ma per qualche motivo,
facendo i calcoli, veniva un meno di troppo....allora, per bilanciare il meno, ne ho aggiunto uno nella sostituzione.
Comunque domani vorrei vedere i tuoi calcoli.
Ma sei sicuro di poter fare una simile sostituzione senza problemi (da [tex]\mathbb{R}[/tex] a [tex]\mathbb{C}[/tex])?
Io avrei fatto comunque così:
[tex]u(x,t) = \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\chi^2(t + \frac{1}{4})} e^{i x\chi} d\chi[/tex]
sostituisco [tex]\chi \mapsto \frac{\sqrt{2} \chi}{\sqrt{4t + 1}}[/tex] ed ottengo
[tex]u(x,t) = \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{-\chi^2}{2t + 1/2} (t + 1/4)} e^{i x \frac{\sqrt{2} \chi}{\sqrt{4t + 1}}} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{4t + 1}}d\chi[/tex]
[tex]= \frac{1}{\sqrt{4t + 1}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{-\chi^2}{2}} e^{i \chi \frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{4t + 1}}}d\chi[/tex]
Adesso [tex]\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{-\chi^2}{2}} e^{i \chi \frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{4t + 1}}}d\chi[/tex] è esattamente l'antitrasformata di Fourier di [tex]e^{-\chi^2/2}[/tex] nel punto [tex]x' = \frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{4t + 1}}[/tex]. Inoltre sappiamo che l'antitrasformata di Fourier di quella gaussiana rimane la stessa funzione, quindi:
[tex]\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{-\chi^2}{2}} e^{i \chi \frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{4t + 1}}}d\chi = e^{-(x')^2/2} = e^{-\frac{x^2}{4t + 1}}[/tex]
Quindi
[tex]u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4t + 1}}e^{-\frac{x^2}{4t + 1}}[/tex]
Io avrei fatto comunque così:
[tex]u(x,t) = \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\chi^2(t + \frac{1}{4})} e^{i x\chi} d\chi[/tex]
sostituisco [tex]\chi \mapsto \frac{\sqrt{2} \chi}{\sqrt{4t + 1}}[/tex] ed ottengo
[tex]u(x,t) = \frac{1}{2\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{-\chi^2}{2t + 1/2} (t + 1/4)} e^{i x \frac{\sqrt{2} \chi}{\sqrt{4t + 1}}} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{4t + 1}}d\chi[/tex]
[tex]= \frac{1}{\sqrt{4t + 1}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{-\chi^2}{2}} e^{i \chi \frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{4t + 1}}}d\chi[/tex]
Adesso [tex]\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{-\chi^2}{2}} e^{i \chi \frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{4t + 1}}}d\chi[/tex] è esattamente l'antitrasformata di Fourier di [tex]e^{-\chi^2/2}[/tex] nel punto [tex]x' = \frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{4t + 1}}[/tex]. Inoltre sappiamo che l'antitrasformata di Fourier di quella gaussiana rimane la stessa funzione, quindi:
[tex]\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{\frac{-\chi^2}{2}} e^{i \chi \frac{\sqrt{2} x}{\sqrt{4t + 1}}}d\chi = e^{-(x')^2/2} = e^{-\frac{x^2}{4t + 1}}[/tex]
Quindi
[tex]u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4t + 1}}e^{-\frac{x^2}{4t + 1}}[/tex]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo