Equazione differenziale al 2° ordine
Salve a tutti,
in vista del mio esame di Analisi II in questo periodo faccio esercizi a manetta e tra i tanti mi è capitata un eq. differenziale che mi ha creato dei dubbi
L'equazione è la seguente:
$$y'' - y' -2y = sinx - x$$
Vi illustro il metodo che ho usato per risolverla:
1) Per prima cosa mi scrivo l'omogenea associata e trovo la base delle soluzioni. In questo caso le radici del polinomio caratteristico erano tutte distinte, quindi niente casi particolari. La soluzione, dunque, dell'omogenea è $$y_0 = c_1e^{2x} + c_2e^{-x}$$ dove $c_1$ e $c_2$ sono delle costanti.
2) Trovo la soluzione per l'equazione $y'' - y' - 2y = -x$, escludendo momentaneamente il sinx.
Posto $b(x)=-x$ mi chiedo quale operatore derivata mi annulla tale funzione e, in questo caso, dico che b(x) si "annichilisce" per $Db(x)=0$. Dunque devo cercare la base della soluzione in $D(D-2)(D+1)y_1 = 0$ e trovo che è ${1, e^{2x}, e^{-x}}$. Escludo $e^{2x}, e^{-x}$ perchè fanno parte dell'omogenea associata e considero solo 1. Quindi dico che $y_1 = \alpha$ con $\alpha$ costante da determinare. Derivo due volte $y_1 = \alpha$ e la sostituisco all'equazione. Trovo allora che $\alpha = \frac{x}{2}$ e quindi $y_1 = \frac{x}{2}$.
3) Ora devo fare lo stesso ragionamento per l'equazione $y'' -y' - 2y = sinx$, in modo tale che trovo la soluzione per questa equazione e infine, sommandola alle precedenti due trovate, ottengo la mia soluzione dell'equazione iniziale.
I problemi nascono qui perchè non riesco a capire quale operatore mi annulla $b(x)=sinx$. Secondo me l'equazione va cercata in una cosa del tipo $(D-2k\pi )(D-2)(D+1)y_2 = 0$, ottenendo una base del tipo ${e^{2k\pi x}, e^{2x}, e^{-x}}$ e una soluzione $y_2 = \beta e^{2k\pi x}$. Tuttavia quando devo determinare $\beta$ ho problemi con i calcoli, quindi o ho sbagliato tutto oppure c'è qualcosa da fare che io non vedo XD
Spero sia stata chiara e che possiate aiutarmi.
Graziee!!
in vista del mio esame di Analisi II in questo periodo faccio esercizi a manetta e tra i tanti mi è capitata un eq. differenziale che mi ha creato dei dubbi
L'equazione è la seguente:
$$y'' - y' -2y = sinx - x$$
Vi illustro il metodo che ho usato per risolverla:
1) Per prima cosa mi scrivo l'omogenea associata e trovo la base delle soluzioni. In questo caso le radici del polinomio caratteristico erano tutte distinte, quindi niente casi particolari. La soluzione, dunque, dell'omogenea è $$y_0 = c_1e^{2x} + c_2e^{-x}$$ dove $c_1$ e $c_2$ sono delle costanti.
2) Trovo la soluzione per l'equazione $y'' - y' - 2y = -x$, escludendo momentaneamente il sinx.
Posto $b(x)=-x$ mi chiedo quale operatore derivata mi annulla tale funzione e, in questo caso, dico che b(x) si "annichilisce" per $Db(x)=0$. Dunque devo cercare la base della soluzione in $D(D-2)(D+1)y_1 = 0$ e trovo che è ${1, e^{2x}, e^{-x}}$. Escludo $e^{2x}, e^{-x}$ perchè fanno parte dell'omogenea associata e considero solo 1. Quindi dico che $y_1 = \alpha$ con $\alpha$ costante da determinare. Derivo due volte $y_1 = \alpha$ e la sostituisco all'equazione. Trovo allora che $\alpha = \frac{x}{2}$ e quindi $y_1 = \frac{x}{2}$.
3) Ora devo fare lo stesso ragionamento per l'equazione $y'' -y' - 2y = sinx$, in modo tale che trovo la soluzione per questa equazione e infine, sommandola alle precedenti due trovate, ottengo la mia soluzione dell'equazione iniziale.
I problemi nascono qui perchè non riesco a capire quale operatore mi annulla $b(x)=sinx$. Secondo me l'equazione va cercata in una cosa del tipo $(D-2k\pi )(D-2)(D+1)y_2 = 0$, ottenendo una base del tipo ${e^{2k\pi x}, e^{2x}, e^{-x}}$ e una soluzione $y_2 = \beta e^{2k\pi x}$. Tuttavia quando devo determinare $\beta$ ho problemi con i calcoli, quindi o ho sbagliato tutto oppure c'è qualcosa da fare che io non vedo XD
Spero sia stata chiara e che possiate aiutarmi.
Graziee!!
Risposte
Metodo più veloce: cerca una soluzione particolare ( mi riferisco al solo $sen(x)$ ) del tipo:
$y_2(x)=acos(x)+bsen(x)$
$y_2(x)=acos(x)+bsen(x)$
E in base a cosa posso dire di poter cercare una tale soluzione?
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