Equazione differenziale a variabili separabili....consiglio?
Il problema di cauchy è il seguente
$y'(x) = (1 + y^2(x))(x + 2)$
con $y(0)= -1$
Ho scritto:
$\int \frac{\text{d}y}{1 + y^2(x)} = \int x + 2 \text{d}x$ con $y(x)$ diverso da $\pm i$ ?
$\arctan y(x) = \frac{x^2}{2} + 2x + c$
Ragazzi ora mi potreste spiegare come risolverla? Queste così non le ho capite!
Grazie
$y'(x) = (1 + y^2(x))(x + 2)$
con $y(0)= -1$
Ho scritto:
$\int \frac{\text{d}y}{1 + y^2(x)} = \int x + 2 \text{d}x$ con $y(x)$ diverso da $\pm i$ ?
$\arctan y(x) = \frac{x^2}{2} + 2x + c$
Ragazzi ora mi potreste spiegare come risolverla? Queste così non le ho capite!
Grazie
Risposte
1) Inizia a calcolare la costante ($c= -\pi/4$).
2) Determina il dominio massimale della soluzione: per far questo risolvi la disequazione $|S(x)| < \pi/2$, dove $S(x)$ è il secondo membro dell'equazione che definisce implicitamente $y$ (stai chiedendo che $S(x)$ stia nell'immagine della funzione arcotangente). A questo punto, se $E$ è l'insieme in cui la disequazione è soddisfatta, il dominio di $y$ sarà la componente connessa $I$ di $E$ contenente il punto iniziale $x_0=0$.
3) La soluzione sarà $y(x) = tan(S(x))$, $x\in I$.
2) Determina il dominio massimale della soluzione: per far questo risolvi la disequazione $|S(x)| < \pi/2$, dove $S(x)$ è il secondo membro dell'equazione che definisce implicitamente $y$ (stai chiedendo che $S(x)$ stia nell'immagine della funzione arcotangente). A questo punto, se $E$ è l'insieme in cui la disequazione è soddisfatta, il dominio di $y$ sarà la componente connessa $I$ di $E$ contenente il punto iniziale $x_0=0$.
3) La soluzione sarà $y(x) = tan(S(x))$, $x\in I$.
se la costante viene calcolata alla fine è uguale no?
E' solo un'inutile complicazione, visto che il dominio dipende dal valore della costante.
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