Equazione differenziale a variabili separabili
Salve, non ho capito il passaggio fatto ad un certo punto dal mio libro.
Un'equazione differenziale a variabili separabili è un'equazione della forma
$y'=a(t)b(y)$, dove $a$ e $b$ sono funzioni continue in certi intervalli.
Supponendo $b(y)$ diverso da zero, l'equazione si può riscrivere come $(y')/(b(y))=a(t)$. Se $y(t)$ è soluzione dell'equazione, allora $(y'(t))/(b(y(t)))=a(t)$ dovrà essere un'identità. Quindi, integrando entrambi i membri dell'identità precedente, si ha che
$int (y'(t))/(b(y(t)))dt=int a(t)dt +C$ è ancora un'identità.
Quello che non capisco è cosa vuol dire fare poi il cambio di variabile $y=y(t)$, $dy=y'(t)dt$.
Grazie per l'aiuto.
Un'equazione differenziale a variabili separabili è un'equazione della forma
$y'=a(t)b(y)$, dove $a$ e $b$ sono funzioni continue in certi intervalli.
Supponendo $b(y)$ diverso da zero, l'equazione si può riscrivere come $(y')/(b(y))=a(t)$. Se $y(t)$ è soluzione dell'equazione, allora $(y'(t))/(b(y(t)))=a(t)$ dovrà essere un'identità. Quindi, integrando entrambi i membri dell'identità precedente, si ha che
$int (y'(t))/(b(y(t)))dt=int a(t)dt +C$ è ancora un'identità.
Quello che non capisco è cosa vuol dire fare poi il cambio di variabile $y=y(t)$, $dy=y'(t)dt$.
Grazie per l'aiuto.
Risposte
non é un cambio di variabile
semplicemente quando si scrive $y$ si sottointende $y(t)$
mentre $y'$ (o se preferisci scrivila come $y'(t)$) é la derivata fatta rispetto alla variabile indipendente (in questo caso $t$) di $y$ quindi la si puó anche scrivere nella forma
$y'=(dy)/(dt)$
semplicemente quando si scrive $y$ si sottointende $y(t)$
mentre $y'$ (o se preferisci scrivila come $y'(t)$) é la derivata fatta rispetto alla variabile indipendente (in questo caso $t$) di $y$ quindi la si puó anche scrivere nella forma
$y'=(dy)/(dt)$
Ciao carissimo! 
Diciamo che invece di integrare rispetto a $t$, "mette insieme" $y'(t)$ e $dt$ ottenendo $dy$, per integrare rispetto ad $y$. Puoi vederla cosi.
@Summerwind: anch'io non riesco a vederlo come un cambio di variabile "ordinario", ma uno dei miei testi lo definisce proprio in questo modo (per la precisione, il Bramanti Pagani Salsa, che penso sia quello che sta utilizzando lisdap), per cui non affermerei così tranquillamente che non lo è.
Diciamo che invece di integrare rispetto a $t$, "mette insieme" $y'(t)$ e $dt$ ottenendo $dy$, per integrare rispetto ad $y$. Puoi vederla cosi.
@Summerwind: anch'io non riesco a vederlo come un cambio di variabile "ordinario", ma uno dei miei testi lo definisce proprio in questo modo (per la precisione, il Bramanti Pagani Salsa, che penso sia quello che sta utilizzando lisdap), per cui non affermerei così tranquillamente che non lo è.
Volendo si può vedere anche così:
supponiamo che \(b: J \to \mathbb{R}\) sia una funzione continua che non si annulla nell'intervallo aperto \(J\); supponiamo inoltre che \(y_0\in J\).
Definiamo
\[
F(z) := \int_{y_0}^z \frac{1}{b(s)}\, ds,\qquad z\in J.
\]
Per il teorema di Torricelli \(F\) è una funzione di classe \(C^1(J)\) e \(F'(z) = 1/b(z)\) per ogni \(z\in J\).
Se \(y\colon I \to J\) è una funzione di classe \(C^1(I)\), avremo che
\[
\frac{d}{dt} F(y(t)) = F'(y(t)) \, y'(t) = \frac{y'(t)}{b(y(t))}\, ;
\]
di conseguenza, una tale \(y\) è soluzione del problema di Cauchy con dato iniziale \(y(t_0) = y_0\) se e solo se
\[
F(y(t)) = \int_{t_0}^t a(\sigma) d\sigma,
\]
ovvero se \(y\) è una funzione definita implicitamente dall'equazione
\[
\int_{y_0}^y \frac{1}{b(s)}\, ds = \int_{t_0}^t a(\sigma) d\sigma\,.
\]
supponiamo che \(b: J \to \mathbb{R}\) sia una funzione continua che non si annulla nell'intervallo aperto \(J\); supponiamo inoltre che \(y_0\in J\).
Definiamo
\[
F(z) := \int_{y_0}^z \frac{1}{b(s)}\, ds,\qquad z\in J.
\]
Per il teorema di Torricelli \(F\) è una funzione di classe \(C^1(J)\) e \(F'(z) = 1/b(z)\) per ogni \(z\in J\).
Se \(y\colon I \to J\) è una funzione di classe \(C^1(I)\), avremo che
\[
\frac{d}{dt} F(y(t)) = F'(y(t)) \, y'(t) = \frac{y'(t)}{b(y(t))}\, ;
\]
di conseguenza, una tale \(y\) è soluzione del problema di Cauchy con dato iniziale \(y(t_0) = y_0\) se e solo se
\[
F(y(t)) = \int_{t_0}^t a(\sigma) d\sigma,
\]
ovvero se \(y\) è una funzione definita implicitamente dall'equazione
\[
\int_{y_0}^y \frac{1}{b(s)}\, ds = \int_{t_0}^t a(\sigma) d\sigma\,.
\]
Comunque non ho ben capito il problema, è la classicissima integrazione per sostituzione. Se ti scandalizza quell'uguaglianza finale, che come dovresti sapere è solo un trucco mnemonico, non la scrivere e pace!
[OT]
La fai troppo semplice yellow... Tieni presente che sul forum girano svariati esperti di tetrapiloctomia.
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"yellow":
Se ti scandalizza quell'uguaglianza finale, che come dovresti sapere è solo un trucco mnemonico, non la scrivere e pace!
La fai troppo semplice yellow... Tieni presente che sul forum girano svariati esperti di tetrapiloctomia.
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[OT]
Strano che non ci sia già un CdL in Tetrapiloctomia ; avrebbe numerosi iscritti
[OT]
Strano che non ci sia già un CdL in Tetrapiloctomia ; avrebbe numerosi iscritti
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lisdap, mi sembra che tu abbia un po' la cattiva abitudine di fare delle domande e poi scomparire. 
Un giorno ti ho dato due risposte complete in due topic della sezione di algebra e non sei nemmeno ripassato a ringraziare, uno vorrebbe almeno sapere se i tuoi dubbi sono stati chiariti!
Un giorno ti ho dato due risposte complete in due topic della sezione di algebra e non sei nemmeno ripassato a ringraziare, uno vorrebbe almeno sapere se i tuoi dubbi sono stati chiariti!
Hai ragione yellow, però ero impegnato a studiare una dimostrazione che tra l'altro credo c'entri con la mia domanda quindi risponderò non appena ci avrò riflettuto per bene. In ogni caso ringrazio te e gli altri utenti del forum per le risposte che mi avete dato, ciao!
Sì sì tranquillo è normale avere poco tempo, magari però un fischio fallo lo stesso!
Ero curioso davvero questa volta visto che non ho proprio capito la difficoltà, soprattutto dopo i pipponi sul $dx$ che erano stati fatti a loro tempo.
Ero curioso davvero questa volta visto che non ho proprio capito la difficoltà, soprattutto dopo i pipponi sul $dx$ che erano stati fatti a loro tempo.
Ok, comunque, rispondendo velocemente, consideriamo l'equazione differenziale a variabili separabili $y'=3t*8y$ (inventata).
Per capire come risolvere in maniera rigorosa questa equazione, su suggerimento del mio testo (bramanti-pagani-salsa) ragiono al seguente modo.
Innanzitutto si vede subito che $y(t)=0$ è soluzione dell'equazione. Tralasciando questo caso banale, se $y(t)$ è soluzione dell'equazione, allora $y'(t)=3t*8y(t)$ è un'identità per ogni $t$ appartenente ad un certo intervallo.
Dividendo entrambi i membri per $8y(t)$, abbiamo che anche $(y'(t))/(8y(t))=3t$ è un'identità, ed integrandoli,
abbiamo che anche $(1/8)log|y(t)|=(3/2)t^2+C$ è un'identità, che si può riscrivere come $y(t)=12Ce^(t^2)$, identità. A questo punto possiamo sostituire alla $y(t)$ l'incognita $y$ ed ottenere l'equazione $y=C*e^(t^2)$. L'ultima equazione che ho scritto, se ho capito bene il modo in cui si risolvono queste equazioni, è equivalente all'equazione $y'=3t*8y$, vale a dire che le funzioni che sostituite alla $y$ generano un'identità sono le stesse. E' evidente a questo punto che la soluzione di $y=C*e^(t^2)$ sia la funzione $C*e^(t^2)$, che è la soluzione dell'equazione differenziale. Stando al procedimento che ho adottato, io ho semplicemente integrato entrambi i membri dell'identità $(y'(t))/(8y(t))=3t$, cioè calcolato $int (y'(t))/(8y(t))dt=int 3tdt$ senza fare quella sostituzione proposta dal libro (sostituzione che ritengo senza senso visto che come si è già detto tante volte i $dt$ sono solo simboli e dunque non si dovrebbero "toccare").
Su suggerimento del libro l'integrale al primo membro sarebbe dovuto diventare $int dy/(8y)$ ma non ne comprendo il significato.
Buona serata.
Per capire come risolvere in maniera rigorosa questa equazione, su suggerimento del mio testo (bramanti-pagani-salsa) ragiono al seguente modo.
Innanzitutto si vede subito che $y(t)=0$ è soluzione dell'equazione. Tralasciando questo caso banale, se $y(t)$ è soluzione dell'equazione, allora $y'(t)=3t*8y(t)$ è un'identità per ogni $t$ appartenente ad un certo intervallo.
Dividendo entrambi i membri per $8y(t)$, abbiamo che anche $(y'(t))/(8y(t))=3t$ è un'identità, ed integrandoli,
abbiamo che anche $(1/8)log|y(t)|=(3/2)t^2+C$ è un'identità, che si può riscrivere come $y(t)=12Ce^(t^2)$, identità. A questo punto possiamo sostituire alla $y(t)$ l'incognita $y$ ed ottenere l'equazione $y=C*e^(t^2)$. L'ultima equazione che ho scritto, se ho capito bene il modo in cui si risolvono queste equazioni, è equivalente all'equazione $y'=3t*8y$, vale a dire che le funzioni che sostituite alla $y$ generano un'identità sono le stesse. E' evidente a questo punto che la soluzione di $y=C*e^(t^2)$ sia la funzione $C*e^(t^2)$, che è la soluzione dell'equazione differenziale. Stando al procedimento che ho adottato, io ho semplicemente integrato entrambi i membri dell'identità $(y'(t))/(8y(t))=3t$, cioè calcolato $int (y'(t))/(8y(t))dt=int 3tdt$ senza fare quella sostituzione proposta dal libro (sostituzione che ritengo senza senso visto che come si è già detto tante volte i $dt$ sono solo simboli e dunque non si dovrebbero "toccare").
Su suggerimento del libro l'integrale al primo membro sarebbe dovuto diventare $int dy/(8y)$ ma non ne comprendo il significato.
Buona serata.
Penso che domani pomeriggio proverò a dare una risposta il più possibile esauriente, avevo iniziato adesso ma non ne ho proprio le forze.
E' la stessa cosa fare come dici tu o come dice il libro...io invece non capisco il significato della tua frase sottolineata tanto meno capisco l'utilità di dire che $Ce^{t^2}$ è soluzione dell'equazione $y=C e^{t^2}$
E comunque:
Ti ricordi quel mio (maledetto) thread sul $dx$ di qualche tempo fa? (al quale partecipasti attivamente anche tu). Se lo rileggi con calma (verso la fine, prima del battibecco con Gugo su liceo classico e compagnia bella ), dovrebbe esserti tutto chiaro.
tanto meno capisco l'utilità di dire che $Ce^{t^2}$ è soluzione dell'equazione $y=C e^{t^2}$ E comunque:
(sostituzione che ritengo senza senso visto che come si è già detto tante volte i $dt$ sono solo simboli e dunque non si dovrebbero "toccare").
Ti ricordi quel mio (maledetto) thread sul $dx$ di qualche tempo fa? (al quale partecipasti attivamente anche tu). Se lo rileggi con calma (verso la fine, prima del battibecco con Gugo su liceo classico e compagnia bella
), dovrebbe esserti tutto chiaro.
"lisdap":Se dici "riscrivere", vuol dire che ritieni equivalenti le due "identità". Vero, ma non scordarti che lo è grazie al fatto che $t \mapsto y(t)$ è una funzione continua
abbiamo che anche $(1/8)log|y(t)|=(3/2)t^2+C$ è un'identità, che si può riscrivere come $y(t)=12Ce^(t^2)$, identità.
"lisdap":Eccheccavolo, torni indietro?? Quale incognita $y$? La tua "incognita y" è ovviamente una funzione, e tu hai appena mostrato quanto fa questa funzione in ogni punto $t$. Basta, hai finito. STOP!!!
A questo punto possiamo sostituire alla $y(t)$ l'incognita $y$ ed ottenere l'equazione $y=C*e^(t^2)$.
"lisdap":Non commento questa parte del tuo post, così evito il turpiloquoio.
L'ultima equazione che ho scritto, se ho capito bene il modo in cui si risolvono queste equazioni, è equivalente all'equazione $y'=3t*8y$, vale a dire che le funzioni che sostituite alla $y$ generano un'identità sono le stesse. E' evidente a questo punto che la soluzione di $y=C*e^(t^2)$ sia la funzione $C*e^(t^2)$, che è la soluzione dell'equazione differenziale.
"lisdap":
Stando al procedimento che ho adottato, io ho semplicemente integrato entrambi i membri dell'identità $(y'(t))/(8y(t))=3t$, cioè calcolato $int (y'(t))/(8y(t))dt=int 3tdt$ senza fare quella sostituzione proposta dal libro (sostituzione che ritengo senza senso visto che come si è già detto tante volte i $dt$ sono solo simboli e dunque non si dovrebbero "toccare").
Su suggerimento del libro l'integrale al primo membro sarebbe dovuto diventare $int dy/(8y)$ ma non ne comprendo il significato.
1. ti lamenti di aver solo integrato? Volevi ce ti facessero soffrire di più?
2. tu usi il teorema di integrazione per sostituzione se fai quel passaggio. Che nel tuo caso non è necessario, visto che hai un integrale immediato. Comunque, se fai quel passaggio, ripeto, stai usando il teorema di integrazione per sostituzione
3. lasciamo stare in pace i "dt", già se ne è parlato a iosa su questo forum
Ok, alla fine mi è uscita una panoramica sull'integrazione per sostituzione che è servita soprattutto a me per comprenderne meglio ogni aspetto.
La metto comunque qui perché mi sembra inutile come topic nuovo, quando hai tempo vedi se riesci a cavarne qualcosa!
Chiunque trovasse degli errori me lo faccia notare.
Primo passo. Indichiamo con $\intf$ una primitiva di $f$.
Siano $F$ e $g$ derivabili. Siccome $(Fog)'=(F'og)*g'$, abbiamo chiaramente $((\intf)og)'=(fog)*g'$.
Primitivando da entrambi i lati otteniamo $(\intf)og=\int(fog)*g'+C$.
Supponiamo ora di dover calcolare l'integrale $\int_a^bf(t)dt$, con $f:[a,b]->RR$ continua.
Siccome sappiamo dal teorema fondamentale del calcolo integrale che $F(x)=\int_a^xf(t)dt$ è una primitiva di $f$, abbiamo dal paragrafo precedente che, per ogni $g:I->[a,b]$ derivabile, $Fog(y)=\int_a^g(y)f(t)dt$ è una primitiva di $(fog)*g'$.
Se inoltre $g'$ è continua, lo sarà anche $(fog)*g'$ e dunque, sempre per il teorema fondamentale del calcolo, questa primitiva sarà della forma $\int_A^y(f(g(s))g'(s)ds+C_A$, dove $C_A$ è una costante che dipende dal punto base $AinI$.
Abbiamo quindi $\int_a^g(y)f(t)dt=\int_A^y(f(g(s))*g'(s)ds+C_A$.
Supponiamo adesso che $g$ sia anche suriettiva. Allora possiamo scegliere $A$ tale che $g(A)=a$, a cui corrisponde chiaramente $C_A=0$ (basta andare a sostituire $A$ a $y$ nell'ultima uguaglianza).
Prendendo poi $B$ tale che $g(B)=b$, abbiamo finalmente $\int_a^bf(t)dt=\int_A^B(f(g(s))*g'(s)ds$.
Questo corrisponde alla classica formula $\int_g(A)^g(B)f(t)dt=\int_A^B(f(g(s))*g'(s)ds$, ma ho preferito iniziare da un generico $[a,b]$ perché quando si calcola un integrale la situazione di partenza è quella.
Di solito in realtà il teorema si applica "nell'altro senso", ma il confine non è ben precisato perché, se $g$ è biunivoca di derivata mai nulla, abbiamo $f(t)=fog(g^(-1)(t))*((g^(-1))'(t))/(g'(g^(-1)(t)))$ e dunque, posto $h=(fog)/g'$, si puo' scrivere $\int_a^bf(t)dt=\int_a^b h(g^(-1)(t))(g^(-1))'(t)dt$. Lascio ai miei 2,5 lettori l'onere di verificare che applicando il teorema alla funzione $h$ con trasformazione $g^(-1)$ si ottiene lo stesso risultato.
Ora, tutto questo puo' essere visto come un cambio di coordinate nel senso che per ogni $tin[a,b]$ esiste un $s in[A,B]$ tale che $t=g(s)$ e quindi possiamo andare a vedere l'integrale su $[A,B]$. Il teorema ci dice che, se aggiungiamo un riscalamento dato dalla derivata di $g$, il risultato sarà lo stesso.
Possiamo infine notare il trucchetto formale del "$t=g(s)$, $dt=g'(s)ds$", il quale tra l'altro ha un buon un senso intuitivo legato agli "infinitesimi" se si ragiona sulla trasformazione geometrica (inizia facendo il disegno di una situazione semplicissima, ad esempio con $f$ costante e $g$ lineare).
Visto che funziona (è dimostrato), non c'è davvero nessun motivo di non servirsene per semplificare i calcoli e la notazione. Pensare il contrario sarebbe un po' come evitare di fare le moltiplicazioni in colonna perché il disegnino che ne esce non è matematicamente ben definito.
La metto comunque qui perché mi sembra inutile come topic nuovo, quando hai tempo vedi se riesci a cavarne qualcosa!
Chiunque trovasse degli errori me lo faccia notare.
Primo passo. Indichiamo con $\intf$ una primitiva di $f$.
Siano $F$ e $g$ derivabili. Siccome $(Fog)'=(F'og)*g'$, abbiamo chiaramente $((\intf)og)'=(fog)*g'$.
Primitivando da entrambi i lati otteniamo $(\intf)og=\int(fog)*g'+C$.
Supponiamo ora di dover calcolare l'integrale $\int_a^bf(t)dt$, con $f:[a,b]->RR$ continua.
Siccome sappiamo dal teorema fondamentale del calcolo integrale che $F(x)=\int_a^xf(t)dt$ è una primitiva di $f$, abbiamo dal paragrafo precedente che, per ogni $g:I->[a,b]$ derivabile, $Fog(y)=\int_a^g(y)f(t)dt$ è una primitiva di $(fog)*g'$.
Se inoltre $g'$ è continua, lo sarà anche $(fog)*g'$ e dunque, sempre per il teorema fondamentale del calcolo, questa primitiva sarà della forma $\int_A^y(f(g(s))g'(s)ds+C_A$, dove $C_A$ è una costante che dipende dal punto base $AinI$.
Abbiamo quindi $\int_a^g(y)f(t)dt=\int_A^y(f(g(s))*g'(s)ds+C_A$.
Supponiamo adesso che $g$ sia anche suriettiva. Allora possiamo scegliere $A$ tale che $g(A)=a$, a cui corrisponde chiaramente $C_A=0$ (basta andare a sostituire $A$ a $y$ nell'ultima uguaglianza).
Prendendo poi $B$ tale che $g(B)=b$, abbiamo finalmente $\int_a^bf(t)dt=\int_A^B(f(g(s))*g'(s)ds$.
Questo corrisponde alla classica formula $\int_g(A)^g(B)f(t)dt=\int_A^B(f(g(s))*g'(s)ds$, ma ho preferito iniziare da un generico $[a,b]$ perché quando si calcola un integrale la situazione di partenza è quella.
Di solito in realtà il teorema si applica "nell'altro senso", ma il confine non è ben precisato perché, se $g$ è biunivoca di derivata mai nulla, abbiamo $f(t)=fog(g^(-1)(t))*((g^(-1))'(t))/(g'(g^(-1)(t)))$ e dunque, posto $h=(fog)/g'$, si puo' scrivere $\int_a^bf(t)dt=\int_a^b h(g^(-1)(t))(g^(-1))'(t)dt$. Lascio ai miei 2,5 lettori l'onere di verificare che applicando il teorema alla funzione $h$ con trasformazione $g^(-1)$ si ottiene lo stesso risultato.
Ora, tutto questo puo' essere visto come un cambio di coordinate nel senso che per ogni $tin[a,b]$ esiste un $s in[A,B]$ tale che $t=g(s)$ e quindi possiamo andare a vedere l'integrale su $[A,B]$. Il teorema ci dice che, se aggiungiamo un riscalamento dato dalla derivata di $g$, il risultato sarà lo stesso.
Possiamo infine notare il trucchetto formale del "$t=g(s)$, $dt=g'(s)ds$", il quale tra l'altro ha un buon un senso intuitivo legato agli "infinitesimi" se si ragiona sulla trasformazione geometrica (inizia facendo il disegno di una situazione semplicissima, ad esempio con $f$ costante e $g$ lineare).
Visto che funziona (è dimostrato), non c'è davvero nessun motivo di non servirsene per semplificare i calcoli e la notazione. Pensare il contrario sarebbe un po' come evitare di fare le moltiplicazioni in colonna perché il disegnino che ne esce non è matematicamente ben definito.
"yellow":
Di solito in realtà il teorema si applica "nell'altro senso"
questa è forse l'annotazione più importante delle tue note
e mi sa che è questo che "faceva strano" a lisdap
Grazie yellow, a breve aggiornamenti!
@ Plepp: grazie per il suggerimento, mi studierò con calma la tua discussione.
@ Plepp: grazie per il suggerimento, mi studierò con calma la tua discussione.
"Fioravante Patrone":
[quote="yellow"]Di solito in realtà il teorema si applica "nell'altro senso"
questa è forse l'annotazione più importante delle tue note
e mi sa che è questo che "faceva strano" a lisdap[/quote]
Ho risposto qui post636369.html#p636369
Grazie!
"Fioravante Patrone":
Non commento questa parte del tuo post, così evito il turpiloquoio.
Ho capito, hai ragione, una volta che attraverso una serie di integrazioni ho dimostrato che vale l'identità $y(x)=....$ è evidente che ho trovato anche la soluzione dell'equazione differenziale!
"Fioravante Patrone":
1. ti lamenti di aver solo integrato? Volevi ce ti facessero soffrire di più?
Non solo uno vuole lavorare...
"Fioravante Patrone":
2. tu usi il teorema di integrazione per sostituzione se fai quel passaggio. Che nel tuo caso non è necessario, visto che hai un integrale immediato. Comunque, se fai quel passaggio, ripeto, stai usando il teorema di integrazione per sostituzione
3. lasciamo stare in pace i "dt", già se ne è parlato a iosa su questo forum
Io e il teorema di integrazione per sostituzione siamo finalmente diventati amici!
"Plepp":
Ciao carissimo!
Diciamo che invece di integrare rispetto a $t$, "mette insieme" $y'(t)$ e $dt$ ottenendo $dy$, per integrare rispetto ad $y$. Puoi vederla cosi.
Tutto chiaro, come dice yellow non si è fatto altro che applicare il teorema di integrazione per sostituzione nell'altro senso
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