Equazione differenziale a variabili separabili

[pipponzo89]

ciao a tutti ragazzi mi potete dare delle spiegazioni riguardo questo tipo di eq differenzali? allora se io ho un problema di cauchy con una eq diff a variabili separabili cosa si fa dopo aver trovato k ? perchè si fa uno studio di funzione e si pone la derivata prima maggiore a zero? inoltre il C.E di un'eq differenziale è uguale al C.E di una qualsiasi funzione?
insomma vorrei dei chiarimenti sul procedimento dopo aver trovato k...grazie a tutti e soprattutto a chi risponde...

[gugo82]

Ma chi è $k$???
Ragazzi, le notazioni non sono universali... Se non spiegate per bene i problemi che avete, come facciamo ad aiutarvi?

Ad ogni modo ti rimando qui.

[pipponzo89]

k=c= costante

[gugo82]

Ma citare il testo del problema lo consideri un reato penale?

Probabilmente molto dipende dalla struttura della soluzione di quel preciso problema e non è una questione di carattere generale... Se fossi tanto gentile da scriverlo (il testo del problema) forse potremmo essere d'aiuto.


P.S.: Un'occhiata qui non farebbe male.

[Camillo]

Non c'era dubbio che $ k $ fosse una costante !
Esplicita meglio i tuoi dubbi magari proponendo un esercizio specifico da te iniziato a svolgere e che non riesci a completare.

[gugo82]

"Camillo":Non c'era dubbio che $ k $ fosse una costante!

Io il dubbio l'avevo... In alcuni testi una EDO a variabili separabili è scritta $y'=h(x)*k(y)$.
Ed il testo seguente mi sembrava avere una certa logica se si era scelta tale notazione (studio di funzione, derivata prima... potevano servire per il calcolo dell'integrale $\int1/(k(y))" d"y$ o per esplicitare la soluzione ad esempio).

[pipponzo89]

ok scrivo il testo dell'esercizio anche se è la linea generale di come si risolvono questi esercizi che non mi è tanta chiara:

$\{(y'= (y +y^3)x),(y(1)=1):}$

separo le variabili e risolvo gli integrali ottenendo alla fine

$log (y) - 1/2 log (y^2+1) = log(x) + c$

ricavo $c$ che è uguale a $-1/2 log 2$

sostituisco ------------------------------------
e trovo $y$ e poi non ho capito cosa si fa... grazie scusate

[gugo82]

Da moderatore, mi sono preso la briga di scrivere in MathML le formule (un guida per imparare il linguaggio la trovi cliccando qui). Potresti dare un occhio alla correttezza?

Nel merito della questione entro stasera, se non ti dispiace, che ora ho un po' da fare.

[pipponzo89]

è quasi giusto correggo

$\{(y'= (y+y^3)/x) , (y(1)=1):}$

ho fatto del mio meglio spero hai capito la correzione

[gugo82]

"pipponzo89":è quasi giusto correggo

(PC) $\{(y'= (y+y^3)/x) , (y(1)=1):}$

ho fatto del mio meglio spero hai capito la correzione

Sisi, ho capito!
Complimenti per aver imparato a volo il MathML.

Ora, mi raccomando, calma e sangue freddo.
Cercherò di essere il più dettagliato possibile; inoltre, visto che a me non piace usare il metodo urang-untang© (ossia moltiplicare e dividere per i differenziali), userò gli integrali definiti e le funzioni integrali... Su questo comunque sarò più preciso in seguito.
La soluzione che ti propongo è quella formalmente corretta: la articolo in due fasi, così potrai anche farti un'idea di come funziona una risoluzione meno meccanica e più ragionata di un problema di Cauchy.

Fase 1: studio dell'equazione.
La prima cosa da fare quando si incontra un'EDO non è mettersi a fare conti, ma ragionare su cosa si ha davanti: infatti è possibile derivare parecchie utili informazioni sulla soluzione di un problema di Cauchy dalla sola equazione, ossia senza risolvere esplicitamente il problema. Tali informazioni si rivelano utili quando si cerca di determinare effettivamente la soluzione del problema assegnato.

Innanzitutto notiamo che il secondo membro dell'equazione, $(y+y^3)/x$, è definito in $RR^2\setminus \{ x=0\}$ ossia in $RR^2$ privato dell'asse delle ordinate; visto che $RR^2\setminus \{ x=0\} =(]-oo,0[\times RR) \cup (]0,+oo[\times RR)$ non è connesso e visto che la coppia di condizioni iniziali $(x_0,y_0)=(1,1)$ stanno in $]0,+oo[\times RR$, la soluzione che cerchiamo è una funzione definita al più su tutto $]0,+oo[$ ed a valori in $RR$.
Inoltre, visto che $y(x_0)=y_0=1>0$, per il teorema della permanenza del segno la soluzione del nostro problema sarà positiva almeno in un intorno di $x_0=1$.
Notiamo che il secondo membro si annulla per $y=0$; pertanto la funzione $\hat(y)(x)=0$ è soluzione dell'equazione in $]0,+oo[$ (ma non è soluzione del nostro problema di Cauchy, perchè non verifica la condizione iniziale).
Questo fatto è molto importante per determinare il segno della soluzione $y(x)$ del nostro problema, come ora mostriamo.
Immaginiamo che la soluzione $y(x)$ sia $<=0$ in un punto $x_1 !=1 $ con $x_1\in ]0,+oo[$ e, per semplicità, supponiamo che $x_1 > x_0 = 1$ (si ragiona allo stesso modo se $x_1 < x_0 $); visto che $y(x)$ è continua (poichè differenziabile, in quanto soluzione di una EDO) e per ipotesi risulta $y(x_1)<=0$ ed $y(x_0)=1>0$, per il teorema degli zeri esiste almeno un punto $\bar(x) \in ]x_0,x_1]$ tale che $y(\bar(x))=0$; ne consegue che la nostra $y(x)$ è soluzione pure del problema di Cauchy omogeneo:

(I) $\{ (y'=(y+y^3)/x),(y(\bar(x))=0):} \quad$.

Notiamo che anche la funzione $\hat(y)(x)=0$ è soluzione di (I); visto che il secondo membro, intorno a $(\bar(x),0)$, verifica le ipotesi del teorema di esistenza ed unicità locali, si ha necessariamente $y(x)=\hat(y)(x)=0$ in un intorno di $\bar(x)$; procedendo per prolungamenti successivi (con una tecnica non difficile, ma lunga da spiegare ora), si vede che in realtà si ha $y(x)=\hat(y)(x)=0$ in tutto $]0,+oo[$. Ma cio è assurdo, in quanto sappiamo benissimo che $y(1)=1>0$!
Pertanto la soluzione del nostro problema (PC) è una funzione positiva (cioè risulta $y(x)>0$ in tutto il suo insieme di definizione -che però ancora non sappiamo ben dire chi è; sappiamo solo che è un sottointervallo di $]0,+oo[$ e che contiene $x_0=1$-).

Infine notiamo che, essendo $x>0$ ed $y=y(x)>0$, si ha $(y(x)+y^3(x))/x>0$ e quindi $y'(x)>0$: per noti teoremi sulla monotonia, da ciò segue che la funzione $y(x)$, laddove definita, è strettamente crescente.

Fase 2: determinazione della soluzione di (PC).
Finora abbiamo stabilito alcune proprietà della soluzione $y(x)$ del problema (PC): essa è positiva e strettamente crescente, oltre che continua e derivabile (con derivata pure continua).
Adesso ci occuperemo di determinare effettivamente $y(x)$.

Visto che $y(x)>0$, possiamo dividere ambo i membri dell'equazione per $y(x)+y^3(x)$ (ossia possiamo separare le variabili) ed ottenere:

(a) $\quad (y'(x))/(y(x)+y^3(x))=1/x \quad$;

evidentemente la (a) va letta come uguaglianza tra due funzioni della variabile $x$. La uguaglianza (a) si conserva se si integrano ambo i membri (rispetto ad $x$!) su uno stesso intervallo: in particolare, sono uguali le funzioni integrali dei due membri di (a) aventi lo stesso punto iniziale. Preso $x_0=1$ come punto iniziale, scriviamo l'uguaglianza tra le due funzioni integrali derivante da (a):

(b) $\quad \int_1^x (y'(t))/(y(t)+y^3(t))" d"t=\int_1^x 1/t" d"t$

ove si è scelto di usare $x$ come estremo variabile delle funzioni integrali e di chiamare la variabile (muta!) d'integrazione con $t$.
Ricordato che $x\in ]0,+oo[$, l''integrale al secondo membro di (b) si calcola subito: infatti è:

(*) $\quad \int_1^x 1/t" d"t=[ln t]_1^x=lnx \quad$.

L'integrale al primo membro è un po' meno immediato, ma risolubile per sostituzione: infatti, posto $tau=y(t)$ si ha $"d"tau=y'(t)" d"t$ e l'integrale diventa:

$\int_1^x (y'(t))/(y(t)+y^3(t))" d"t=\int_(y(1))^(y(x))1/(tau+tau^3)" d"tau =\int_1^(y(x))1/(tau+tau^3)" d"tau\quad$;

integrando per fratti semplici e tenendo presente che $tau=y(t)>0$ si trova facilmente:

$\int_1^x (y'(t))/(y(t)+y^3(t))" d"t=[ln tau-1/2 ln(1+tau^2)]_1^(y(x)) =lny(x)-1/2ln(1+y^2(x))+1/2ln2 \quad$,

ed applicando le proprietà del logaritmo troviamo infine:

(**) $\quad \int_1^x (y'(t))/(y(t)+y^3(t))" d"t=ln\{ (\sqrt(2) y(x))/sqrt(1+y^2(x))\} \quad$.

Sostituendo (*) e (**) in (b) troviamo la soluzione del problema in forma implicita, ossia:

(c) $\quad ln\{ (\sqrt(2) y(x))/sqrt(1+y^2(x))\} =lnx \quad$;

non rimane altro da fare se non cercare di esplicitare la (c) rispetto ad $y(x)$, cosa che andiamo senz'altro a fare.
Posto, per semplicità notazionale $y=y(x)$, dalla (c) applicando le proprietà dei logaritmi segue che:

$ln\{ (\sqrt(2) y)/sqrt(1+y^2)\} -lnx =0 \quad =>$

$\quad => ln\{ (\sqrt(2) y)/(xsqrt(1+y^2))\} =0 \quad =>$

$\quad => (\sqrt(2) y)/(xsqrt(1+y^2)) =1 \quad =>$

$\quad => (sqrt(2)y-xsqrt(1+y^2))/(xsqrt(1+y^2))=0 \quad$;

l'ultima frazione è nulla se e solo se è nullo il numeratore, quindi la precedente è equivalente a:

$sqrt(2)y-xsqrt(1+y^2)=0$

che, considerata come equazione in $y$, è un'equazione irrazionale che può essere risolta abbastanza agevolmente: infatti, tenendo presente che $x>0$ e che $y=y(x)>0$, abbiamo:

$sqrt(2)y=xsqrt(1+y^2) \quad =>$

$\quad => 2y^2=x^2(1+y^2) \quad =>$

$\quad => (2-x^2)y^2=x^2 \quad$.

Dovendosi avere uguaglianza tra primo e secondo membro e constatato che $x^2,y^2>0$, il fattore $2-x^2$ ha da essere necessariamente positivo, quindi è possibile risolvere l'equazione solo limitatamente ai valori di $x>0$ tali che $2-x^2>0$: evidentemente ciò equivale a dire che è possibile esplicitare la soluzione solo se $x>0$ ed $|x| < sqrt(2)$, ossia se $x \in ]0,sqrt(2)[$.
Pertanto, ristretto opportunamente l'insieme di variazione di $x$, dall'ultima delle precedenti traiamo:

$y^2=x^2/(2-x^2) \quad =>$

$\quad => y=sqrt(x^2/(2-x^2))=x/sqrt(2-x^2) \quad$ (si prende la radice positiva perchè $y=y(x)>0$).

Quindi la soluzione del problema di Cauchy (PC) assegnato è la funzione $y:]0,sqrt(2)[\to ]0,+oo[$ definita da:

$y(x)=x/sqrt(2-x^2) \quad$.

Ecco il grafico della soluzione:
[asvg]xmin=0;xmax=2;ymin=0;ymax=2;
axes("labels", "grid");
plot("x/(sqrt(2-x^2))",0,1.413);
dot([1,1]);[/asvg]

Spero di essere stato chiaro (anche se un po' lungo e noioso, forse...).
Se non capisci qualcosa chiedi pure.