Equazione differenziale a variabili separabili
Piccolo dubbio riguardo all'insieme delle soluzioni dell'equazione differenziale $y'=2\sqrt(y)$.
Oltre alla soluzione costante identicamente nulla ottengo le non costanti nella forma:
$y=(t+c)^2$
La domanda è: imponendo la condizione iniziale $y(0)=1$, non ottengo un'unica soluzione perchè nell'intorno del punto $t=0$ l'ipotesi di $f(t,y)$ lipschitziana non è soddisfatta e quindi non è piu garantita l'unicità?
Oltre alla soluzione costante identicamente nulla ottengo le non costanti nella forma:
$y=(t+c)^2$
La domanda è: imponendo la condizione iniziale $y(0)=1$, non ottengo un'unica soluzione perchè nell'intorno del punto $t=0$ l'ipotesi di $f(t,y)$ lipschitziana non è soddisfatta e quindi non è piu garantita l'unicità?
Risposte
[strike]Sì.[/strike] Letto male il membro di destra. Vedi post Fioravante
Di nuovo grazie
No
Potresti spiegarmi per favore? O ti riferisci al fatto che ho scritto che la non lipschitzianità è il motivo per cui non ho l'unicità mentre essendo una condizione sufficiente non mi dà informazioni a riguardo, se non che potrebbe non essere unica?
Scusami @Frink88, ma ho assunto nel risponderti che il tuo membro di destra fosse $\sqrt{|y|}$ e il dato iniziale $y(0)=0$, che è il classico esempio che di solito viene proposto, e che credevo tu avessi chiesto.
Grazie Fioravante per averlo fatto notare.
Grazie Fioravante per averlo fatto notare.
In sostanza, se consideri il problema
$ { ( y'=2\sqrt{y} ),( y(0)=0 ):} $
allora non hai unicità. Qui cade la Lipschitzianità quando sei a $0$. Puoi usare la definizione, oppure semplicemente notare che la derivata (rispetto a $y$!, forse era questo che ti ingannava) prima esplode in $0$.
Una soluzione è chiaramente $y(t)=0$. L'altra la trovi provando a prendere un dato $(t_0,y_0)$ con $t_0>0$ e $y_0>0$ (in modo da poter separare le variabili), e per integrazione troverai un'altra soluzione $Y(t)=t^2$ che verrà molto simile alla tua, definita solamente quando $Y(t)>0$ (altrimenti non potresti separare le variabili) che può definire un'altra soluzione al tuo problema: $y(t)= { ( t^2, \quad t \geq 0 ),( 0, \quad t<0 ):} $
Ora però, nota che se il dato iniziale è $y(0)=1$, allora puoi applicare il teorema di esistenza e unicità locale. Lo stesso varrebbe anche per $y(0)=-1$. Insomma, per $y_0 >0$ o $y_0<0$ puoi applicare esistenza e unicità. Perché? Tra l'altro, nota che deve essere $y(t)\geq 0$ e dunque $y'(t) \geq 0$ sempre. Poiché $y(0)=1$ e la sol. è crescente, sicuramente la sol. non attraverserà mai l'asse $x$. Separando le variabili (in un intorno di $y(0)=1$ il membro di destra $\sqrt{y}$ non si annulla!) trovi che $$\int_{y(0)=1}^{y(t)} \frac{1}{2\sqrt{u}}du = t $$ che porge $$y(t)=(t+1)^2$$ che è l'unica soluzione. Mi scuso per averti risposto subito di sì, senza leggere bene.
$ { ( y'=2\sqrt{y} ),( y(0)=0 ):} $
allora non hai unicità. Qui cade la Lipschitzianità quando sei a $0$. Puoi usare la definizione, oppure semplicemente notare che la derivata (rispetto a $y$!, forse era questo che ti ingannava) prima esplode in $0$.
Una soluzione è chiaramente $y(t)=0$. L'altra la trovi provando a prendere un dato $(t_0,y_0)$ con $t_0>0$ e $y_0>0$ (in modo da poter separare le variabili), e per integrazione troverai un'altra soluzione $Y(t)=t^2$ che verrà molto simile alla tua, definita solamente quando $Y(t)>0$ (altrimenti non potresti separare le variabili) che può definire un'altra soluzione al tuo problema: $y(t)= { ( t^2, \quad t \geq 0 ),( 0, \quad t<0 ):} $
Ora però, nota che se il dato iniziale è $y(0)=1$, allora puoi applicare il teorema di esistenza e unicità locale. Lo stesso varrebbe anche per $y(0)=-1$. Insomma, per $y_0 >0$ o $y_0<0$ puoi applicare esistenza e unicità. Perché? Tra l'altro, nota che deve essere $y(t)\geq 0$ e dunque $y'(t) \geq 0$ sempre. Poiché $y(0)=1$ e la sol. è crescente, sicuramente la sol. non attraverserà mai l'asse $x$. Separando le variabili (in un intorno di $y(0)=1$ il membro di destra $\sqrt{y}$ non si annulla!) trovi che $$\int_{y(0)=1}^{y(t)} \frac{1}{2\sqrt{u}}du = t $$ che porge $$y(t)=(t+1)^2$$ che è l'unica soluzione. Mi scuso per averti risposto subito di sì, senza leggere bene.
Scusate se non mi sono più fatto vivo, ma oggi traslocavo...
Mi fido di feddy, capisco anche la sua svista. Anche a me, leggendo di sfuggita, sembrava corretto ma poi ho appunto notato che con quelle condizioni iniziali si era tranquillamente in condizioni di unicità
Il "no" e basta era un'opzione troppo ghiotta come risposta, per perderla
Mi fido di feddy, capisco anche la sua svista. Anche a me, leggendo di sfuggita, sembrava corretto ma poi ho appunto notato che con quelle condizioni iniziali si era tranquillamente in condizioni di unicità
Il "no" e basta era un'opzione troppo ghiotta come risposta, per perderla
"feddy":
Mi scuso per averti risposto subito di sì, senza leggere bene.
Ci mancherebbe feddy.
"feddy":
rispetto a y!, forse era questo che ti ingannava
Ho fatto proprio confusione su questo
Vediamo se ho capito bene:
$f(y)=2sqrt(y)$ non è $\mathcal{C}^1$ e non è lipschitziana in un intorno di $y_0=0$ infatti la sua derivata non è limitata in un intorno di tale punto.
Tali condizioni sussistono invece per $y_0>0$ (perchè dici anche per $y_0<0$?)
Quindi oltre alla soluzione costante l'integrale generale ha la forma:
$sqrt(y)=t+c$
Imponendo il dato iniziale ottengo $c=1$ quindi
$sqrt(y)=t+1$
In definitiva
$y(t)= { (( t+1)^2, \quad t in [-1,+infty) ),( 0, \quad t in (-infty,1) ):} $
"Fioravante Patrone":
Il "no" e basta era un'opzione troppo ghiotta come risposta, per perderla
Menomale che te ne sei accorto!
"Frink88":
f(y)=2y√ non è C1 e non è lipschitziana in un intorno di y0=0 infatti la sua derivata non è limitata in un intorno di tale punto.
Se lì non è $C^1$ (perché la derivata è illimitata) allora non è nemmeno Lipschitziana.
"Frink88":
Tali condizioni sussistono invece per y0>0 (perchè dici anche per y0<0?)
No in effetti in questo caso $y(0)<0$ non può essere, poiché avresti una radice con radicando negativo. Un discorso di questo tipo si può fare se il membro di destra fosse stato $\sqrt{|y|}$. In quel caso $y(0)<0$ è un dato iniziale accettabile. Quello che volevo dire è che per $y(0)=1>0$ sei in condizioni di esistenza e unicità nell'esempio che hai proposto.
Nel caso avessi avuto $sqrt{|y|}$, allora sia nel semipiano $y<0$ che $y>0$ sei in condizioni di unicità, e infatti lì puoi ricavare a mano per separazione delle variabili due soluzioni (uniche in ciascun semipiano). Ma questo esempio lo puoi trovare su ogni testo.
"Frink88":
$y(t)= { (( t+1)^2, \quad t in [-1,+infty) ),( 0, \quad t in (-infty,1) ):}$
Questa non è corretta, ad esempio guarda gli intervalli in cui l'hai definita. La soluzione corretta l'ho ricavata prima separando le variabili perché $\sqrt{y}$ non si annulla ed è $y(t)=(t+1)^2$. Nota che non è definita su tutto $\mathbb{R}$, bensì su $t > - 1$.
"Frink88":
...
(perchè dici anche per $y_0<0$?)
...
Perché feddy ha in mente $\sqrt{|y|}$, vedi post:
https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 3#p8485625
Esattamente. Ho aggiunto una precisazione su questo nella mia ultima risposta, grazie Fioravante 
Grazie mille a entrambi
Prego. Ho appena visto che c'è una discussione sullo stesso argomento, fatta nel 2008, tra dissonance, Fioravante e altri. Sono sicuro potrà esserti utile: https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 95#p229963
Mi riferisco in particolare al primo messaggio di dissonance, dove calcola esplicitamente le due soluzioni usando quello che dicevamo sopra.
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