Equazione differenziale a variabili separabili
Nel verificare la soluzione del problema di Cauchy noto l'approccio alla soluzione dell'equazione in modo a me sconosciuto rispetto a ciò che ho letto nell'applicare il criterio di separazione delle variabili:
$\{(y'(t)=x^2y),(y(0)=\alpha):}$
Trovare Alpha affinchè la soluzione sia limitata superiormente
$int_\alpha^Ydy/y=\int_0^xs^2ds=>log(y/\alpha)=x^3/3=>y(x)=\alphae^(x^3)/3$
Non capisco perché vengano utilizzati gli integrali con gli intervalli di integrazione, io avrei fatto così:
$dy/dx=x^2y$
$\int1/ydy=\intx^2dx=> logabs(y)=x^3/3+c$
$y(x)=e^((x^3/3)+C)$=>$y(0)=e^0e^C$=>$e^C=\alpha$
Sbaglio qualcosa?
Poi perché $y'(t)$ è in funzione di $t$ non dovrebbe esserlo per $x$?
$\{(y'(t)=x^2y),(y(0)=\alpha):}$
Trovare Alpha affinchè la soluzione sia limitata superiormente
$int_\alpha^Ydy/y=\int_0^xs^2ds=>log(y/\alpha)=x^3/3=>y(x)=\alphae^(x^3)/3$
Non capisco perché vengano utilizzati gli integrali con gli intervalli di integrazione, io avrei fatto così:
$dy/dx=x^2y$
$\int1/ydy=\intx^2dx=> logabs(y)=x^3/3+c$
$y(x)=e^((x^3/3)+C)$=>$y(0)=e^0e^C$=>$e^C=\alpha$
Sbaglio qualcosa?
Poi perché $y'(t)$ è in funzione di $t$ non dovrebbe esserlo per $x$?
Risposte
Ciao zio_mangrovia,
Non è che potresti riportare l'esercizio proposto per intero? Così come l'hai scritto si capisce poco... La $y$ sembrerebbe funzione di $t$, ma a questo punto $x$ che cos'è? Una costante o anch'essa una funzione di $t$? Non può neanche essere $\alpha = 0 \implies y(x) = 0 \implies y(0) = 0$ perché $\alpha = e^C > 0$, per cui non c'è verso di trovare $\alpha$ affinché sia superiormente limitata la funzione $y(x) = \alpha e^{frac{x^3}{3}}$, ma se invece $x$ fosse un'opportuna funzione di $t$ potrebbe anche essere...
Non è che potresti riportare l'esercizio proposto per intero? Così come l'hai scritto si capisce poco... La $y$ sembrerebbe funzione di $t$, ma a questo punto $x$ che cos'è? Una costante o anch'essa una funzione di $t$? Non può neanche essere $\alpha = 0 \implies y(x) = 0 \implies y(0) = 0$ perché $\alpha = e^C > 0$, per cui non c'è verso di trovare $\alpha$ affinché sia superiormente limitata la funzione $y(x) = \alpha e^{frac{x^3}{3}}$, ma se invece $x$ fosse un'opportuna funzione di $t$ potrebbe anche essere...
Ho riportato il testo pari pari ma secondo me è errato, cioè dovrebbe essere $y'(x)$ cosane pensate?
Alla luce di questa deduzione cosa ne pensate di tutte le mie riflessioni iniziali?
Alla luce di questa deduzione cosa ne pensate di tutte le mie riflessioni iniziali?
Ciao zio_mangrovia,
Può essere... Mi insospettisce però la domanda
a meno che non sia una domanda "trappola"...
Le tue considerazioni iniziali, a parte il risultato e qualche simbolo errato, sono corrette; infatti per definizione di integrale indefinito si ha
$\int frac{dy}{y} = \int_{\alpha}^Y frac{dy}{y} + k$
ove $k$ è una costante, per cui si ha:
$int_{\alpha}^Y frac{dy}{y} = \int_0^x s^2 ds \implies \ln(frac{Y}{\alpha}) = frac{x^3}{3} \implies Y(x)=\alpha e^(frac{x^3}{3}$
che coincide con la soluzione che hai trovato alla fine del tuo OP con l'altro metodo
(che fra l'altro anch'io preferisco... ).
"zio_mangrovia":
Ho riportato il testo pari pari ma secondo me è errato
Può essere... Mi insospettisce però la domanda
"zio_mangrovia":
Trovare $\alpha$ affinchè la soluzione sia limitata superiormente
a meno che non sia una domanda "trappola"...
Le tue considerazioni iniziali, a parte il risultato e qualche simbolo errato, sono corrette; infatti per definizione di integrale indefinito si ha
$\int frac{dy}{y} = \int_{\alpha}^Y frac{dy}{y} + k$
ove $k$ è una costante, per cui si ha:
$int_{\alpha}^Y frac{dy}{y} = \int_0^x s^2 ds \implies \ln(frac{Y}{\alpha}) = frac{x^3}{3} \implies Y(x)=\alpha e^(frac{x^3}{3}$
che coincide con la soluzione che hai trovato alla fine del tuo OP con l'altro metodo
(che fra l'altro anch'io preferisco...
).
"pilloeffe":
Le tue considerazioni iniziali, a parte il risultato e qualche simbolo errato, sono corrette;
Mi farebbe piacere capire quali sono così mi correggerò, per le prossime volte....
"pilloeffe":
$\int frac{dy}{y} = \int_{\alpha}^Y frac{dy}{y} + k$
Mi sfugge perché si introducono gli esterni di intervallo di integrazione $\alpha}$ e $Y$
"pilloeffe":
$int_{\alpha}^Y frac{dy}{y} = \int_0^x s^2 ds \implies \ln(frac{Y}{\alpha}) = frac{x^3}{3} \implies Y(x)=\alpha e^(frac{x^3}{3}$
e come mai qua invece stessa cosa per $0$ e $x$ mentre si introduce anche $s$ come nuova variabile
"zio_mangrovia":
Mi farebbe piacere capire quali sono così mi correggerò, per le prossime volte....
Te li ho scritti correttamente nella mia risposta... Nel dettaglio:
"zio_mangrovia":
$int_\alpha^Ydy/y=\int_0^xs^2ds=>log(y/\alpha)=x^3/3=>y(x)=\alphae^(x^3)/3$
Se l'estremo di integrazione è $Y$, occorre scrivere $\log (frac{Y}{\alpha})$ e non come hai scritto; il risultato corretto è $Y(x)=\alpha e^(frac{x^3}{3}$, diversamente da ciò che hai scritto.
"zio_mangrovia":
Mi sfugge perché si introducono gli esterni di intervallo di integrazione $\alpha$ e $Y$
Come ti dicevo, per la definizione di integrale indefinito (che ti invito a rivedere):
$\int frac{dy}{y} = \int_{y(0)}^Y frac{dy}{y} + k = \int_{\alpha}^Y frac{dy}{y} + k$
"zio_mangrovia":
e come mai qua invece stessa cosa per $0$ e $x$ mentre si introduce anche $s$ come nuova variabile
Vedi risposta alla domanda precedente: definizione di integrale indefinito. La $s$ è la variabile "muta" dell'integrale: la puoi sostituire con $t$, $u$, $(\cdot)$,... Quello che ti pare: la vera variabile è $x$.
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