Equazione differenziale a variabili separabili
Ciao ragazzi, ho un problema con questo PDC in quanto non mi trovo col risultato del libro.
$\{(y'=(2xy)/(x^2-1) ), (y(0)=2):}$
Ho cercato le soluzioni stazionarie ed ho trovato $y=0$ che però ho scartato perchè non soddisfa la condizione iniziale $y=2$.
Procedo con la separazione della variabili per $y!=0$ per cui ottengo:
$\int 1/y dy = int (2x)/(x^2-1) dx + c$
E ho ottenuto:
$ln|y|=ln|x^2-1|+c$
A questo punto ho fatto un ragionamento sui valori assoluti, per capire come liberarmene (ditemi se ho sbagliato qui):
considero le condizioni iniziali e siccome $y=2$ e $2$ è positivo ho tolto il valore assoluto alla $y$.
Per quanto riguarda $|x^2-1|$, io so che esso è uguale a:
$x^2-1$ se $x<=-1$ o $x>=1$
oppure
$1-x^2$ se $-1<=x<=1$
Siccome la condizione iniziale mi impone $x=0$ poichè considera $y(0)$ allora lo 0 rientra nel secondo caso per cui ho tolto il valore assoluto lasciando $(1-x^2)$, per cui l'equazione diventa:
$ln(y) = ln(1-x^2) + c$; e continuo:
$ln(y)=ln(1-x^2)+lne^c$
$ln(y)=lne^c(1-x^2)$
$y=e^c(1-x^2)$
Uso la condizione iniziale:
$2=e^c$
$c=ln2$
Sostituisco c in y:
$y=(e^(ln2))(1-x^2)$
e quindi, infine:
$y=2(1-x^2)$ che è il mio risultato mentre il risultato del libro è $y=2(x^2-1)$ quindi un chiaro problema di segno, che sembrerebbe derivare dal ragionamento sui valori assoluti, eppure mi sembra corretto.
Dove ho sbagliato? Grazie
$\{(y'=(2xy)/(x^2-1) ), (y(0)=2):}$
Ho cercato le soluzioni stazionarie ed ho trovato $y=0$ che però ho scartato perchè non soddisfa la condizione iniziale $y=2$.
Procedo con la separazione della variabili per $y!=0$ per cui ottengo:
$\int 1/y dy = int (2x)/(x^2-1) dx + c$
E ho ottenuto:
$ln|y|=ln|x^2-1|+c$
A questo punto ho fatto un ragionamento sui valori assoluti, per capire come liberarmene (ditemi se ho sbagliato qui):
considero le condizioni iniziali e siccome $y=2$ e $2$ è positivo ho tolto il valore assoluto alla $y$.
Per quanto riguarda $|x^2-1|$, io so che esso è uguale a:
$x^2-1$ se $x<=-1$ o $x>=1$
oppure
$1-x^2$ se $-1<=x<=1$
Siccome la condizione iniziale mi impone $x=0$ poichè considera $y(0)$ allora lo 0 rientra nel secondo caso per cui ho tolto il valore assoluto lasciando $(1-x^2)$, per cui l'equazione diventa:
$ln(y) = ln(1-x^2) + c$; e continuo:
$ln(y)=ln(1-x^2)+lne^c$
$ln(y)=lne^c(1-x^2)$
$y=e^c(1-x^2)$
Uso la condizione iniziale:
$2=e^c$
$c=ln2$
Sostituisco c in y:
$y=(e^(ln2))(1-x^2)$
e quindi, infine:
$y=2(1-x^2)$ che è il mio risultato mentre il risultato del libro è $y=2(x^2-1)$ quindi un chiaro problema di segno, che sembrerebbe derivare dal ragionamento sui valori assoluti, eppure mi sembra corretto.
Dove ho sbagliato? Grazie
Risposte
ovviamente il risultato del libro è sbagliato in quanto dà $y(0)=-2$
Quindi il mio ragionamento sui valori assoluti è corretto? E' così che si procede in questi casi?
Valutando il valore di x e di y della condizione iniziale e guardando in che intervallo ci si trova?
Valutando il valore di x e di y della condizione iniziale e guardando in che intervallo ci si trova?
sì,secondo me il tuo ragionamento non fa una grinza
Sono contenta, grazie! 
L'unico appuntino che farei: ti conviene sbarazzarti subito della costante arbitraria \(c\). Quando arrivi a \(\log |y|=\log|x^2-1|+c\), imponi subito che \(\left.y\right|_{x=0}=2\), così vedi immediatamente che \(c=\log 2\) e poi puoi ragionare sui valori assoluti più facilmente.
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