Equazione differenziale
ciao a tutti...vorrei capire una cosa..presa un equazione differenziale come questa :y"-6y'+9y=[(9x^(2)+6x+2)/(x^(3))]e^(3x)
è possibile non risolverla con la variazione delle costanti? se si come? cioè potreste indicarmi l' yo che trovate? così vedo se ho fatto bene!grazie milleeeee!
è possibile non risolverla con la variazione delle costanti? se si come? cioè potreste indicarmi l' yo che trovate? così vedo se ho fatto bene!grazie milleeeee!
Risposte
Devi usare i codici per esprimere le formule matematiche. Vai nel regolamento e leggi l'apposito topic...
Ciao. Quando in un'equazione differenziale di second'ordine del tipo
\[y''+ay'+by=f(x)\]
($a$ e $b$ costanti) il termine noto $f(x)$ è della forma
\[f(x)=P_n(x)e^{k x}\]
con $k in RR$ e $P_n$ polinomio di grado $n$, è possibile cercare una soluzione particolare dell'equazione tramite il metodo di somiglianza. In tal caso, la soluzione particolare va ricercata nella forma
\[y_0(x)=x^r Q_n(x)e^{kx}\]
dove $r$ è la molteplicità algebrica di $k$ nel polinomio caratteristico dell'equazione, mentre $Q_n$ è un generico polinomio di grado $n$ (di cui occorre determinare i coefficienti).
Dimmelo se non sono stato chiaro in qualche punto. Ciao
PARDON! Non avevo letto bene la traccia
mi dispiace, ma in questo caso puoi usare solo il metodo di Lagrange per semplificare le cose ti consiglio di fare la divisione tra polinomi, in modo da ottenere $f(x)$ come somma di due funzioni $f_1$ e $f_2$; quindi potrai applicare il "principio di sovrapposizione degli effetti" e risolvere separatamente due equazioni con termine noto rispettivamente $f_1$ e $f_2$, una delle quali sarà risolubile tramite il metodo che ti ho descritto sopra...l'altra devi risolverla col metodo di variazione delle costanti, ma sarà più semplice (probabilmente) da risolvere rispetto all'equazione di partenza...Di nuovo ciao
PS: per "risolvere" ho voluto intendere (impropriamente) "trovare una soluzione particolare".
\[y''+ay'+by=f(x)\]
($a$ e $b$ costanti) il termine noto $f(x)$ è della forma
\[f(x)=P_n(x)e^{k x}\]
con $k in RR$ e $P_n$ polinomio di grado $n$, è possibile cercare una soluzione particolare dell'equazione tramite il metodo di somiglianza. In tal caso, la soluzione particolare va ricercata nella forma
\[y_0(x)=x^r Q_n(x)e^{kx}\]
dove $r$ è la molteplicità algebrica di $k$ nel polinomio caratteristico dell'equazione, mentre $Q_n$ è un generico polinomio di grado $n$ (di cui occorre determinare i coefficienti).
Dimmelo se non sono stato chiaro in qualche punto. Ciao
PARDON! Non avevo letto bene la traccia
mi dispiace, ma in questo caso puoi usare solo il metodo di Lagrange per semplificare le cose ti consiglio di fare la divisione tra polinomi, in modo da ottenere $f(x)$ come somma di due funzioni $f_1$ e $f_2$; quindi potrai applicare il "principio di sovrapposizione degli effetti" e risolvere separatamente due equazioni con termine noto rispettivamente $f_1$ e $f_2$, una delle quali sarà risolubile tramite il metodo che ti ho descritto sopra...l'altra devi risolverla col metodo di variazione delle costanti, ma sarà più semplice (probabilmente) da risolvere rispetto all'equazione di partenza...Di nuovo ciao PS: per "risolvere" ho voluto intendere (impropriamente) "trovare una soluzione particolare".
chiarissimo!!
però in questo caso dove il termine noto è : $((9*x^2+6*x+2)/x^3)*e^3*x)$ posso fare la stessa cosa?
puoi farmi vedere la soluzione particolare che riesci a trovare tu? così capisco se faccio bene.
però in questo caso dove il termine noto è : $((9*x^2+6*x+2)/x^3)*e^3*x)$ posso fare la stessa cosa?
puoi farmi vedere la soluzione particolare che riesci a trovare tu? così capisco se faccio bene.
* mi correggo la frazione moltiplicata per $(e^(3*x))$
okok! grazie mille ora ho letto!! 
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