Equazione differenziale

[nadia891]

Sera,
ho svolto una equazione differenziale ma poichè ottengo un riusultato diverso dal libro , mi è venuto un dubbio..
$ y''=(y')^2/ y - y^2$ .
inizio a porre $ z(y)= y'$ ottenendo così :$ z'=z/y-y^2/z$.
Qui procedo sostituendo $ t= z/y$.dovendo sostituire mi ricavo $ z'=t'y+ty'$.Il mio dubbio ora è : in questo caso $y' $ lo devo considerare come $ y'=z= ty$ oppure $y'=1$?cioè nella sostituzione devo porre$ z'=t'y+t^2y$ oppure$ z'=t'y+t$?

[Quinzio]

Che risultato da il libro ?

[nadia891]

mi porta $y(x)= -1/2(1+tan(\pi/4-x/2)^2)$

[ciampax]

L'equazione

$z'-1/y\ z=-y^2 z^{-1}$

è di Bernoulli, quindi non hai bisogno di ulteriori sostituzioni.

In ogni caso, dalla trasformazione precedente hai stabilito che $y$ è la variabile indipendente, per cui d'ora in avanti le derivate le pensi rispetto a $y$, e quindi se $z=y\cdot t(y)$ allora $z'=t(y)+y\cdot t'(y)$.

[Quinzio]

Ma sostituendo $z=y'$ non viene
$z'=(z^2)/(y)-y^2$ ?
Anche dividendo per $z$
$(z')/(z)=(z)/(y)-(y^2)/z$

poi??

[ciampax]

Quinzio, che stai a dì? La sostituzione è fatta in modo da trasformare la variabile dipendente originale (incognita) in variabile dipendente: pertanto se $z(y)=y'(x)$ allora

$y''(x)={dy'}/{dx}={dz}/{dx}={dz}/{dy}\cdot{dy}/{dx}=z'(y)\cdot y'(x)=z'(y)\cdot z(y)$

Attenti acome scrivete le cose!