Equazione differenziale
ciao a tutti, avrei bisogno di un consiglio. Ho questa equazione differenziale
$\ {(y'=-3x^3(4-y^2)),(y(0)=1):}$
e mi viene chiesto se il punto x=0 è di massimo minimo o flesso per la soluzione. Vorrei sapere se necessariamente devo risolvere l'equazione differenziale, quindi trovare la y(x), riderivarla rispetto a x e studiare il segno della derivata o se si può procedere in qualche altro modo, magari riuscendo a fare direttamete uno studio del segno della y'.
Grazie
$\ {(y'=-3x^3(4-y^2)),(y(0)=1):}$
e mi viene chiesto se il punto x=0 è di massimo minimo o flesso per la soluzione. Vorrei sapere se necessariamente devo risolvere l'equazione differenziale, quindi trovare la y(x), riderivarla rispetto a x e studiare il segno della derivata o se si può procedere in qualche altro modo, magari riuscendo a fare direttamete uno studio del segno della y'.
Grazie
Risposte
"ale_91":
ciao a tutti, avrei bisogno di un consiglio. Ho questa equazione differenziale
$\ {(y'=-3x^3(4-y^2)),(y(0)=1):}$
e mi viene chiesto se il punto x=0 è di massimo minimo o flesso per la soluzione. Vorrei sapere se necessariamente devo risolvere l'equazione differenziale, quindi trovare la y(x), riderivarla rispetto a x e studiare il segno della derivata o se si può procedere in qualche altro modo, magari riuscendo a fare direttamete uno studio del segno della y'.
Grazie
Sia $\phi$ la soluzione del problema dato (tralascio la discussione su esistenza e unicità).
Allora, c'è un intorno di 0, tale che, per ogni $x$ in questo intorno:
$\phi'(x)=-3x^3(4-\phi^2(x))$
Basta derivare usando la regola delle derivate composte, e poi usare la c.i. per vedere se nel punto 0 sono sodisfatte le CS per max/min locali o flessi.
"Fioravante Patrone":
[quote="ale_91"]ciao a tutti, avrei bisogno di un consiglio. Ho questa equazione differenziale
$\ {(y'=-3x^3(4-y^2)),(y(0)=1):}$
e mi viene chiesto se il punto x=0 è di massimo minimo o flesso per la soluzione. Vorrei sapere se necessariamente devo risolvere l'equazione differenziale, quindi trovare la y(x), riderivarla rispetto a x e studiare il segno della derivata o se si può procedere in qualche altro modo, magari riuscendo a fare direttamete uno studio del segno della y'.
Grazie
Sia $\phi$ la soluzione del problema dato (tralascio la discussione su esistenza e unicità).
Allora, c'è un intorno di 0, tale che, per ogni $x$ in questo intorno:
$\phi'(x)=-3x^3(4-\phi^2(x))$
Basta derivare usando la regola delle derivate composte, e poi usare la c.i. per vedere se nel punto 0 sono sodisfatte le CS per max/min locali o flessi.[/quote]
scusa Fioravante ma nn ho capito quello che bisogna fare. Cioè cos'è la regola delle derivate composte? cosa dovrei derivare in funzione di cosa? e una volta derivato cosa dovrei vedere?...scusa e grazie della disponibilità
Immagino che Fioravante intenda questo:
$[y'=f(x,y)] rarr [y''=(delf)/(delx)+(delf)/(dely)y']$
$[y'=-3x^3(4-y^2)] rarr [y''=-9x^2(4-y^2)+6x^3yy']$
$\{(y(0)=1),(y'(0)=0):} rarr [y''(0)=0]$
Tuttavia, essendo anche $[y''(0)=0]$, bisognerebbe continuare. A questo punto, potrebbe convenire risolvere direttamente l'equazione differenziale a variabili separabili. Fioravante, cosa ne pensi?
$[y'=f(x,y)] rarr [y''=(delf)/(delx)+(delf)/(dely)y']$
$[y'=-3x^3(4-y^2)] rarr [y''=-9x^2(4-y^2)+6x^3yy']$
$\{(y(0)=1),(y'(0)=0):} rarr [y''(0)=0]$
Tuttavia, essendo anche $[y''(0)=0]$, bisognerebbe continuare. A questo punto, potrebbe convenire risolvere direttamente l'equazione differenziale a variabili separabili. Fioravante, cosa ne pensi?
"speculor":
Immagino che Fioravante intenda questo:
$[y'=f(x,y)] rarr [y''=(delf)/(delx)+(delf)/(dely)y']$
$[y'=-3x^3(4-y^2)] rarr [y''=-9x^2(4-y^2)+6x^3yy']$
$\{(y(0)=1),(y'(0)=0):} rarr [y''(0)=0]$
Tuttavia, essendo anche $[y''(0)=0]$, bisognerebbe continuare. A questo punto, potrebbe convenire risolvere direttamente l'equazione differenziale a variabili separabili. Fioravante, cosa ne pensi?
sto cercando di capire: supponendo che la derivata seconda fosse uscita diversa da zero, come avrei dedotto che in x=0 c'è un massimo o un minimo?
"ale_91":
Sto cercando di capire: supponendo che la derivata seconda fosse uscita diversa da zero, come avrei dedotto che in x=0 c'è un massimo o un minimo?
$[y''(0)>0] rarr$ [Minimo]
$[y''(0)<0] rarr$ [Massimo]
$[y''(0)=0] rarr$ [Bisogna continuare con il calcolo delle derivate di ordine superiore]
Grazie mille
"speculor":
Immagino che Fioravante intenda questo:
$[y'=f(x,y)] rarr [y''=(delf)/(delx)+(delf)/(dely)y']$
$[y'=-3x^3(4-y^2)] rarr [y''=-9x^2(4-y^2)+6x^3yy']$
$\{(y(0)=1),(y'(0)=0):} rarr [y''(0)=0]$
Tuttavia, essendo anche $[y''(0)=0]$, bisognerebbe continuare. A questo punto, potrebbe convenire risolvere direttamente l'equazione differenziale a variabili separabili. Fioravante, cosa ne pensi?
No, non mi sembra una buona idea risolvere l'equazione. Penso valga la pena andare avanti ancora.
"Fioravante Patrone":
No, non mi sembra una buona idea risolvere l'equazione. Penso valga la pena andare avanti ancora.
Ok. Anche perchè la consegna ha tutta l'aria di non richiedere la "forza bruta".
si ma anche se calcolassi la derivata terza nn saprei cosa dedurne se viene positiva o negativa quindi credo che procederò col calcolo della y(x)
"ale_91":
si ma anche se calcolassi la derivata terza nn saprei cosa dedurne se viene positiva o negativa quindi credo che procederò col calcolo della y(x)
Scusa, ale_91. Hai vent'anni, giusto?
E allora perché non rifletti sulle risposte che ti vengono date?
Cosa pensi di ottenere "calcolando" la y(x), se non sai cosa farne delle derivate terze?
Cosa ne diresti di prendere il libro (le dispense, gli appunti, quello che vuoi) e ripassare qualcosa?
Conosci le condizioni sufficienti di flesso? Da quello che dici, propendo nettamente per il no. E allora come pensi di poter risolvere questo esercizio?
Mi ha molto preoccupato leggere, dalla tua prima risposta, che non conosci la regola delle derivate composte.
Fermati un attimo con questo thread. Ne sono emersi dei buchi preoccupanti nella tua preparazione. Rifletti, ripassa, consultati con tuoi colleghi. E, per tornare all'inizio, queste cose non dovrebbero essere dette a un ventenne. Ci dovrebbe arrivare da solo.
Firmato, l'ex "moderatore cattivissimo"
credo che questo sia un forum di confronto volto soprattutto a risolvere dubbi o problemi altrui. Nel momento in cui mi hai parlato della regola delle derivate composte, nn avendola mai sentita nè incontrata (che nn mi sembra sia una colpa dal momento in cui se tutti sapessero già tutto nn avrebbe senso l'esistenza di questo forum), sono andato a prendere il mio libro di analisi sul quale però nn ho trovato risposte e solo dopo mi sono permesso di chiedere sul forum di cosa si trattasse. Inoltre nn mi sembra di aver preteso mai nessuna risposta, anzi ho sempre ringraziato la disponibilità di chi mi ha risposto, quindi nn mi sembra di dover ricevere lezioni su come si studia e nn credo di aver abusato di questo forum cercando in voi risposte che, secondo lei, dovrei cercare altrove
Ti do atto volentieri della tua gentilezza e cortesia.
Da un punto di vista professionale, trovo allucinante che tu ti ritrovi a trattare equazioni differenziali senza conoscere (o credere di non conoscere, che mi sembra la cosa più plausibile: secondo me la usi ogni giorno...) la regola di derivazione delle funzioni composte.
Ancora più eclatante il fatto che tu non abbia trovato questa regola sul tuo libro.
Vuoi sapre il perché del mio post precedente? Credo che, vista la mia pregressa attività professionale, il mio ruolo non sia tanto quello di dare risposte puntuali alle domande (cosa che a volte faccio), ma di puntare il dito contro quelle che mi appaiono essere le vere magagne. Liberissimo di ignorare la mia risposta. Ma spero che il mio tono aspro invece possa servire a farti capire che sono emersi segnali molto preoccupanti sul tuo metodo di studio.
Da un punto di vista professionale, trovo allucinante che tu ti ritrovi a trattare equazioni differenziali senza conoscere (o credere di non conoscere, che mi sembra la cosa più plausibile: secondo me la usi ogni giorno...) la regola di derivazione delle funzioni composte.
Ancora più eclatante il fatto che tu non abbia trovato questa regola sul tuo libro.
Vuoi sapre il perché del mio post precedente? Credo che, vista la mia pregressa attività professionale, il mio ruolo non sia tanto quello di dare risposte puntuali alle domande (cosa che a volte faccio), ma di puntare il dito contro quelle che mi appaiono essere le vere magagne. Liberissimo di ignorare la mia risposta. Ma spero che il mio tono aspro invece possa servire a farti capire che sono emersi segnali molto preoccupanti sul tuo metodo di studio.
sono pienamente daccordo che la cosa migliore non è dare risposte puntuali ma suggerire risposte.
Per chiudere la questione della regola delle derivate composte non credevo si riferisse semplicemente alla derivazione di una funzione composta ma ad una regola o meglio uno svolgimento atto a risolvere questo particolare tipo di problemi (ma forse anche questo è dovuto alla mia conoscenza,forse anche semplice, dell'analisi).
Credo che con questo abbiamo chiarito le nostre opinioni e abbiamo chiarito anche l'esercizio.
Per chiudere la questione della regola delle derivate composte non credevo si riferisse semplicemente alla derivazione di una funzione composta ma ad una regola o meglio uno svolgimento atto a risolvere questo particolare tipo di problemi (ma forse anche questo è dovuto alla mia conoscenza,forse anche semplice, dell'analisi).
Credo che con questo abbiamo chiarito le nostre opinioni e abbiamo chiarito anche l'esercizio.
@ale_91 Consiglio non richiesto ma che mi sento lo stesso di darti : porta lo svolgimento dell'esercizio fino in fondo, ritengo ti sarà utile.
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