Equazione differenziale

[maximator]

Salve a tutti,
qualcuno sa illuminarmi su come si risolva analiticamente questa equazione differenziale alle derivate parziali:
$u_t$ = $1/2$ $u_\theta$

con questa condizione iniziale:
U(r,$\theta$)=exp{-20*[(r cos$\theta$-0.5)$^2$+(r sin$\theta$-0.5)$^2$]}

grazie mille

[ciampax]

Ma $u$ dipende da quali variabili? C'è una $t$, una $r$, una $\theta$: sono due o tre?

[maximator]

sono tre le variabili, t,r e $\theta$

[Sk_Anonymous]

Credo che tu stia cercando una soluzione del tipo $u(r,\theta,t)$, altrimenti non avrebbe senso la presenza del termine $u_t$. In questo caso, dovresti ottenere la seguente soluzione:

$u(r,\theta,t)=e^(-20*((rcos(1/2t+\theta)-1/2)^2+(rsin(1/2t+\theta)-1/2)^2))$

Utilizzando il metodo delle caratteristiche, devi risolvere il seguente sistema:

$\{((dr)/(ds)=0),((d\theta)/(ds)=-1/2),((dt)/(ds)=1),((du)/(ds)=0):}$

Quindi, imporre opportunamente le condizioni iniziali. Anche se, vista la semplicità, dovrebbe esistere un procedimento più elementare.