Equazione differenziale....

[Badgirl1990]

Salve a tutti....ho un problema col seguente esercizio: Integrare la seguente equazione differenziale
$ y''+y=1/(1+senx) $ .
Nel calcolare l'equazione omogenea non ho problemi...facilmente ho trovato che l'integrale generale è $ y= k cosx + h senx $,
poi ho calcolato la y(x) cioè l'integrale particolare attraverso la derivata prima di $ gamma1 $ e $ gamma2 $...e mi ricavo il sistema con
$ {:gamma 1:}_(1)^(') cosx+ {:gamma 2:}_(1)^(')senx=0 $
$ -{:gamma 1:}_(1)^(') senx + {:gamma 2:}_(1)^(')cosx=1/(1+senx) $
poi mi trovo che $ gamma2=ln(1+senx) $
xò ho problemi a calcolare $ gamma1 $...
Spero che mi aiuterete....Grazie mille....

[ciampax]

Dalla prima ricavi

[tex]$\gamma_1'=\frac{\sin x}{\cos x}\cdot\gamma_2'=\frac{\sin x}{\cos(x)}\cdot\frac{\cos x}{1+\sin x}$[/tex]

da cui

[tex]$\gamma_1(x)=\int \frac{\sin x}{1+\sin x}\ dx=\int\left(1-\frac{1}{1+\sin x}\right)\ dx=x-\int\frac{dx}{1+\sin x}$[/tex]

Usando la sostituzione [tex]$\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\ t=\tan\frac{x}{2}$[/tex] ottieni per il secondo integrale

[tex]$\int\frac{1+t^2}{1+t^2+2t}\cdot\frac{2\ dt}{1+t^2}=2\int\frac{dt}{(1+t)^2}=-\frac{2}{1+t}=-\frac{2}{1+\tan(x/2)}$[/tex]

e pertanto

[tex]$\gamma_1(x)=x+\frac{2}{1+\tan(x/2)}$[/tex]

[Badgirl1990]

scusa l'ignoranza mi puoi dire perchè ti viene $ int 1 - 1/(1+senx) dx $? grazie

[ciampax]

[tex]$\frac{\sin x}{1+\sin x}=\frac{1+\sin x-1}{1+\sin x}=\frac{1+sin x}{1+\sin x}-\frac{1}{1+\sin x}=1-\frac{1}{1+\sin x}$[/tex]

[Badgirl1990]

grazie mille