Equazione differenziale

[Simonkb24]

il problema che mi viene posto è:
Data l'equazione differenziale $y''+4y=f(t)$ determinare $f(t)$ in modo che la funzione $y(x)=1+cos4x$ sia un integrale dell'equazione. Determinare poi l'integrale generale dell'equazione. Esistono soluzioni periodiche di periodo $pi/2$ ?
non sono neanche riuscito ad arrivare all'ultima domanda perché mi sono bloccato da subito nel ricavare $f(t)$..ho pensato di ricavarmi la soluzione dell'omogenea $c1cos2x+c2sen2x$ e sommarla a f(t) per poi porla uguale a $y(x)$ ma mi sono reso conto che non serve a nulla..qualcuno ha qualche suggerimento?
Grazie in anticipo

[Sk_Anonymous]

Basta sostituire in $y$ la soluzione assegnata e determinare $f(t)$.

[Simonkb24]

Grazie...sono stupido a non averi pensato..era più facile di quanto sembrasse.. sto facendo una miriadi di esercizi e il mio cervello è quasi out.. Grazie ancora =)

[Sk_Anonymous]

Non devi nemmeno cercare la soluzione particolare!

[acero1]

Se non ho sbagliato i calcoli la soluzione dovrebbe essere $f(t)=4-12cos 4x$

e l'integrale generale $y(x)=c_1 cos 2x + c_2 sen 2x +1 + sen 4x$

[Simonkb24]

"acero":Se non ho sbagliato i calcoli la soluzione dovrebbe essere $f(t)=4-12cos 4x$

e l'integrale generale $y(x)=c_1 cos 2x + c_2 sen 2x +1 + sen 4x$

Mi trovo Grazie mille =)

[Simonkb24]

Sapreste darmi un suggerimento anche con questo?
due esercizi riguardanti i Problemi di cauchy di equazioni differenziali a variabili separabili.
Nel primo caso:
1) Si può dire che la soluzione del seguente problema di Cauchy è definita in tutto R?
$ y'=(1+senx^2+y^2)^(1/3) $
$ y(0)=1 $
e in questo caso non so proprio come procedere per separare le variabili!
nell'altro caso invece:
2) mi viene chiesto di dire perché i seguenti problemi di Cauchy ammettono soluzione unica e poi di risolvere il problema
entrambi i problemi hanno $ y'=(sqrt(1-y^2))/x $ ma uno ha $ y(1)=-1/2 $ mentre l'altro $ y(-1)=-1/2 $
per quanto riguarda il perché ho risposto dicendo che è continua nel suo insieme di definizione,derivabile rispetto ad y e che la sua derivata è limitata infatti mi viene:
$ fy=2y/(sqrt(1-y^2)*x) $
E' giusto? e basta per dire che la soluzione è unica?
Per quanto riguarda la soluzione mi viene in entrambi i casi
$ y(x)=sen(log|x| -pi/6) $
Grazie in anticipo

?

[Simonkb24]

Up

[Giuly191]

Ti sembra limitata in un intorno di $1$ e $-1$ quella derivata?

[Simonkb24]

"Giuly19":Ti sembra limitata in un intorno di $1$ e $-1$ quella derivata?

Essendo il dominio di $F_y$ $-1

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[Giuly191]

Sì ma guarda dove è posto il problema di Cauchy..
Non è banale provare che la soluzione è unica, ovviamente il teorema di esistenza e unicità non ha un'ipotesi rispettata e quindi non è applicabile.

[Simonkb24]

"Giuly19":Sì ma guarda dove è posto il problema di Cauchy..
Non è banale provare che la soluzione è unica, ovviamente il teorema di esistenza e unicità non ha un'ipotesi rispettata e quindi non è applicabile.

Esatto in generale noi possiamo dire che la soluzione è unica se in quel punto non vale 0 e se è definita nel suo intorno? (giusto?..ho un pò di confusione su questo) però nell'intorno dei due punti non è definita quindi come possiamo affermare che la soluzione è unica?..
p..s per il primo punto invece non sai come poter ricavare l'integrale generale?

[Giuly191]

Per il primo punto dubito si possa fare, bisognerà fare qualche considerazione sulle derivata. Dopo magari la guardo meglio, ma non è facile nemmeno quello (almeno per me).
Se ti viene qualche idea scrivila pure e ti dico cosa ne penso.
Comunque siccome la funzione del secondo punto è continua per $x!=0$ esiste sicuramente almeno una soluzione dei problemi di Cauchy assegnati (teorema di Peano), per essere certi che sia unica sarebbe dovuta essere lipschitziana rispetto a y uniformemente rispetto a x almeno in un intorno dei punti $(-1/2,pm1)$, cosa che non succede.
Provare a priori che sia unica non mi sembra per niente scontato, io la risolverei e farei vedere che non si incolla alle soluzioni costanti $y=pm1$ in nessuno dei due casi, dopo magari ci provo.