Equazione differenziale

[Procopio1]

Salve, data l'equazione differenziale $ dot(y) = -3 * e^{y} $ , devo determinare quale delle seguenti affermazioni è vera:
a)le soluzioni sono costanti;
b)ogni soluzione è crescente;
c)ogni soluzione è convessa;
d)non esistono soluzioni.
Io ho sostituito $ dot(y) = dy / dx $ e ho portato i termini in x da un lato e in y dall'altro. Poi ho integrato e ho ottenuto $ y = -log (3 * x ) $.
Dalla soluzione ottenuta mi viene da escludere subito la risposta a e la d. Visto il segno negativo escluderei anche la b quindi non rimane che la c ma non sono sicuro. Quale è il modo corretto per arrivare alla soluzione? E spratutto che vuol dire soluzione convessa? ................grazie

[gugo82]

Beh, senza fare troppi conti, hai [tex]$\ddot{y}=-3 \tfrac{\text{d}}{\text{d} t} e^y =-3e^y \dot{y}=9e^{2y}$[/tex], quindi...

[Procopio1]

Quindi le soluzioni sono crescenti???

[dissonance]

Quindi la derivata seconda è sempre positiva, e quindi ... (un po' troppi "quindi", eh? )

[Procopio1]

E ma i quindi li scrive lei, se ho chiesto chiarimenti è perchè non lo so..... comunque se la derivata seconda è positiva vuol dire che le soluzioni sono crescenti..

[gugo82]

"Procopio":se la derivata seconda è positiva vuol dire che le soluzioni sono crescenti..

Mmmm... La funzione [tex]$]-\infty ,0[\ni x\mapsto x^2 \in \mathbb{R}$[/tex], che ha la derivata seconda positiva, non mi pare crescente...

La domanda cui rispondere è: il segno della derivata seconda [tex]$\ddot{y}(t)$[/tex] è legato ad una proprietà "geometrica" della funzione [tex]$y(t)$[/tex] (o del suo grafico), quale?

[Procopio1]

ho capito, la derivata seconda da una proprietà del suo grafico e cioè essendo maggiore di zero, vuol dire che la funzione presenta una concvità verso l'alto... giusto?......

[gugo82]

Sì, però si dice che la funzione è convessa (non che presenta la concavità verso l'alto).