Equazione differenziale

[DavideGenova1]

Ciao, amici!
Sto studiando equazioni differenziali del primo ordine. Il mio libro, Istituzioni di Matematica di Michiel Bertsch, che leggo da autodidatta ignorante proveniente dal liceo classico, propone come esempio, dato $A in RR$
$\{(y'=y^2),(y(0)=A):}$
Si noti che è qui applicabile il teorema di unicità delle soluzioni di Cauchy. Dividendo e integrando si ha, come dal mio libro:
$\int(y'(x))/(y^2(x)) dx = \int1 dx + C iff -1/(y(x))=x+C iff y(x)=-1/(x+C)$
Quindi $y(0)=A=-1/C$ ovvero $C=-1/A$ per cui, evidentemente:
$y(x)=-1/(x-(1/A))=A/(1-Ax)$
Qui io aggiungerei "per A≠0", ma, invece, il mio testo dice che la "y è derivabile in $RR$\{1/A}" (dove abbiamo evidentemente un asintoto verticale) "e in $RR$ se A=0", condizione in cui mi sembrerebbe invece che la funzione sarebbe indefinita...! Il libro poi prosegue dicendo che "dunque la soluzione generale del problema è
$y(x)=-A/(1-Ax)$ in ($-oo$,1/A) se A>0, in $RR$ se A=0, in (1/A,$+oo$) se A<0"
e qui non riesco a capire perché si restringa la funzione a quei tre intervalli... Qualcuno sarebbe così gentile da delucidarmi un pochino questa questione? A me $y(x)=-A/(1-Ax)$ sembrerebbe valida in ($-oo$,1/A), (1/A,$+oo$) indipendentemente dal segno di A...
Grazie infinite a tutti!!!
Davide

P.S.: Ne ho parlato con mia sorella, che ha fatto il liceo scientifico, studia biologia all'università e sta preparando matematica 2, e lei suppone che ci sia qualche errore nel libro, ma, anche se ne sa infinitamente più di me, sarei comunque felicissimo di sentire vari pareri di persone più esperte di me, che fino a un mese fa non sapevo neanche cosa fosse un integrale...

[DavideGenova1]

Nonostante ne abbia parlato con amici che studiano in facoltà scientifiche (uno è figlio di un fisico che lavora al CERN, quindi suppongo che dal proprio ambiente familiare abbia ricevuto input di un certo tipo ed infatti si sta per laureare brillantemente e in fretta...), nessuno sembra in grado di capire il perché della restrizione della soluzione a quegli intervalli...
Più avanti nel libro, trovo anche che, dato il problema
$\{(y'=y^2),(y(0)=1):}$
"la soluzione è la funzione $y(x)=(1-x)^(-1)$ con x<1"... senza aggiungere anche "con x>1", quindi solo con y(x)>0...
Non riesco a capacitarmi del perché, che forse c'è e non siamo invece davanti ad un errore di stampa o simili...
Grazie di cuore a tutti!
Davide

[gugo82]

Detto molto semplicemente, le soluzioni massimali di un problema di Cauchy sono definite nel più grande intervallo contenente il punto iniziale.
Se [tex]$A>0$[/tex], si ha [tex]$0\in ]-\infty ,\tfrac{1}{A}[$[/tex], ergo l'insieme di definizione della soluzione massimale del problema è proprio [tex]$]-\infty ,\tfrac{1}{A}[$[/tex].
Lo stesso per [tex]$A<0$[/tex].
Per [tex]$A=0$[/tex] il problema banalmente ammette la soluzione nulla, che è unica ed è definita in tutto [tex]$\mathbb{R}$[/tex].

Per informazioni più dettagliate potresti vedere qui, anche sono dispense non troppo adatte ad un autodidatta.

[DavideGenova1]

Grazie di tutto cuore, Gugo!!! Certo, come abbiamo fatto, io e i miei amici, a non realizzare che il motivo è semplicemente che la soluzione al problema di Cauchy si applica, per una funzione incognita da ricercare che non sia continua in tutto $RR$, ristrettamente all'intervallo in cui abbiamo l'$x_0$ tale che, nel primo esempio, $y(x_0)=A$...!
Quanto al passaggio $y(x)=1/(x-(1/A))=A/(1-Ax)$, certamente non si giustifica se A=0, ma non sarebbe neanche valida la divisione che porta a quel risultato integrata come $\int (y'(x))/(y^2(x)) dx$, mentre invece verifichiamo che la funzione costante $y(x)=0$ è evidentemente una soluzione dell'equazione, essendo $y'=0=y^2$.
Grazie $+oo$!!!!!!
Davide