Equazione Differenziale.
$y''(x)+y(x)=e^tsent$
Devo fare questa equazione differenziale.
Calcolo parte omogenea:
$k^2+1=0$ $Delta<0$ pertanto trovo $alpha=0$ e $beta=1$
soluzione parte omogenea, $y=(c_1sent+c_2cost)$
Calcolo parte non omogenea: $e^tsent$
L'equazione caratteristica si presenta con risonanza, molteplicità $1$:
$q(x)=te^t(Asent+Bcost)$
Fin qui è giusto?
Devo fare questa equazione differenziale.
Calcolo parte omogenea:
$k^2+1=0$ $Delta<0$ pertanto trovo $alpha=0$ e $beta=1$
soluzione parte omogenea, $y=(c_1sent+c_2cost)$
Calcolo parte non omogenea: $e^tsent$
L'equazione caratteristica si presenta con risonanza, molteplicità $1$:
$q(x)=te^t(Asent+Bcost)$
Fin qui è giusto?
Risposte
Vi sto chiedendo se fin qui è giusto!!
Poi procedo..
Poi procedo..
non ho capito cosa intendi con $alpha$ e $beta$ ma il resto sembra giusto
$alpha=-b/2$
$beta=sqrt(-Delta)/2$
$beta=sqrt(-Delta)/2$
Adesso faccio derivata prima e seconda di $q(x)$
$q'(x)=e^x*x(Asenx+Bcosx)+e^x(Asenx+Bcosx)+e^x*x(Acosx-Bsenx)$
$q''(x)=e^x*x(Asenx+Bcosx)+e^x(Asenx+Bcosx)+e^x*x(Acosx-Bsenx)+e^x(Asenx+Bcosx)$
$+e^x(Acosx-Bsenx)+e^x*x(Acosx-Bsenx)+e^x(Acosx-Bsenx)+e^x*x(-Asenx-Bcosx)$
sostuisco e:
$e^x*x(Asenx+Bcosx)+e^x(Asenx+Bcosx)+e^x*x(Acosx-Bsenx)+e^x(Asenx+Bcosx)+e^x(Acosx-Bsenx)$
$+e^x*x(Acosx-Bsenx)+e^x(Acosx-Bsenx)+e^x*x(-Asenx-Bcosx)+e^x*x(Asenx+Bcosx)=e^xsenx$
evidenzio $e^x$ del primo membro, eliminandolo con quello del secondo membro. Semplificazione:
$x(Asenx+Bcosx)+(Asenx+Bcosx)+x(Acosx-Bsenx)+(Asenx+Bcosx)+(Acosx-Bsenx)$
$+x(Acosx-Bsenx)+(Acosx-Bsenx)+x(-Asenx- Bcosx)+x(Asenx+Bcosx)=senx$
Adesso eseguo le possibili operazioni di moltiplicazione:
$xAsenx+xBcosx+Asenx+Bcosx+xAcosx-xBsenx+Asenx+Bcosx+Acosx-Bsenx$
$+xAcosx-xBsenx+Acosx-Bsenx-xAsenx-xBcosx+xAsenx+xBcosx=senx$
evidenzio $senx$ e $cosx$ del primo membro dell'equazione:
$senx(xA+A-XB+A-xB-B-B-xA+xA)+cosx(xB+B+xA+B+A+xA+A-xB+xB)=senx$
adesso abbiamo:
1. $xA+A-XB+A-xB-B-B-xA+xA=1$
2. $xB+B+xA+B+A+xA+A-xB+xB=0$
1.
$A-B-B-A+A=0$ $->A-2B=0$ $->A=2B$ $->A=1$
$A+A-B-B=1$ $->2A-2B=1$ $->4B-2B=1$ $->2B=1$ $->B=1/2$
2.
$B+A+A-B+B=0$ $->B+2A=0$ $->B=-2A$ $->B=0$
$B+B+A+A=0$ $->2B+2A=0$ $->-4A+2A=0$ $->-2A=0$ $-> A=0$
E qui c'è l'errore!! Come posso avere due valori sia di A che di B?? Non va bene! Dove ho sbagliato? Forse nel processo di derivazione?
O mi sfugge qualche regola delle equazioni differenziali?
$q'(x)=e^x*x(Asenx+Bcosx)+e^x(Asenx+Bcosx)+e^x*x(Acosx-Bsenx)$
$q''(x)=e^x*x(Asenx+Bcosx)+e^x(Asenx+Bcosx)+e^x*x(Acosx-Bsenx)+e^x(Asenx+Bcosx)$
$+e^x(Acosx-Bsenx)+e^x*x(Acosx-Bsenx)+e^x(Acosx-Bsenx)+e^x*x(-Asenx-Bcosx)$
sostuisco e:
$e^x*x(Asenx+Bcosx)+e^x(Asenx+Bcosx)+e^x*x(Acosx-Bsenx)+e^x(Asenx+Bcosx)+e^x(Acosx-Bsenx)$
$+e^x*x(Acosx-Bsenx)+e^x(Acosx-Bsenx)+e^x*x(-Asenx-Bcosx)+e^x*x(Asenx+Bcosx)=e^xsenx$
evidenzio $e^x$ del primo membro, eliminandolo con quello del secondo membro. Semplificazione:
$x(Asenx+Bcosx)+(Asenx+Bcosx)+x(Acosx-Bsenx)+(Asenx+Bcosx)+(Acosx-Bsenx)$
$+x(Acosx-Bsenx)+(Acosx-Bsenx)+x(-Asenx- Bcosx)+x(Asenx+Bcosx)=senx$
Adesso eseguo le possibili operazioni di moltiplicazione:
$xAsenx+xBcosx+Asenx+Bcosx+xAcosx-xBsenx+Asenx+Bcosx+Acosx-Bsenx$
$+xAcosx-xBsenx+Acosx-Bsenx-xAsenx-xBcosx+xAsenx+xBcosx=senx$
evidenzio $senx$ e $cosx$ del primo membro dell'equazione:
$senx(xA+A-XB+A-xB-B-B-xA+xA)+cosx(xB+B+xA+B+A+xA+A-xB+xB)=senx$
adesso abbiamo:
1. $xA+A-XB+A-xB-B-B-xA+xA=1$
2. $xB+B+xA+B+A+xA+A-xB+xB=0$
1.
$A-B-B-A+A=0$ $->A-2B=0$ $->A=2B$ $->A=1$
$A+A-B-B=1$ $->2A-2B=1$ $->4B-2B=1$ $->2B=1$ $->B=1/2$
2.
$B+A+A-B+B=0$ $->B+2A=0$ $->B=-2A$ $->B=0$
$B+B+A+A=0$ $->2B+2A=0$ $->-4A+2A=0$ $->-2A=0$ $-> A=0$
E qui c'è l'errore!! Come posso avere due valori sia di A che di B?? Non va bene! Dove ho sbagliato? Forse nel processo di derivazione?
O mi sfugge qualche regola delle equazioni differenziali?
forse ho capito il problema: non puoi semplificare i termini del primo membro con quelli del secondo membro ma devi imporre l'uguaglianza dei rispettivi coefficienti
@Marcomix: Non capisco perchè stai cercando la soluzione nella forma [tex]$xe^x(A\cos x+B\sin x)$[/tex]... Secondo me c'è quel fattore [tex]$x$[/tex] davanti che è di troppo.
Infatti il numero complesso individuato dal termine noto, ossia [tex]$1+\imath$[/tex], non è radice del polinomio caratteristico associato all'equazione (le radici del quale sono [tex]$\pm \imath$[/tex]).
Ne consegue che le soluzioni vanno cercate nella forma [tex]$e^x (A\cos x +B\sin x)$[/tex].
Infatti il numero complesso individuato dal termine noto, ossia [tex]$1+\imath$[/tex], non è radice del polinomio caratteristico associato all'equazione (le radici del quale sono [tex]$\pm \imath$[/tex]).
Ne consegue che le soluzioni vanno cercate nella forma [tex]$e^x (A\cos x +B\sin x)$[/tex].
ne ero sicuro di sbagliare qui.. ma allora, ma fai chiarezza su questo punto?
Io per vedere se un equazione differenziale non omogenea ha risonanza faccio cosi.
Se la parte omogenea come in questo caso, ha $Delta<0$ allora la soluzione di essa è:
$e^(alphax)(c_1Acosbetax+c_2Bsenbetax)$
$alpha=-b/2$ e $beta=sqrt(-Delta)/2$
Adesso guardo la non omogenea. Prendo come esempio sempre quello dell'esercizio, e vedo che è in forma $e^xsenbeta_1x$
Io per vedere se il $senbeta_1x$ ha risonanza, guardo se $beta=beta_1$ e in questo caso è giusto: $1=1$ per cui ha risonanza!
Se qualcuno ha capito come procedo, mi spieghi dove sbaglio.
Io per vedere se un equazione differenziale non omogenea ha risonanza faccio cosi.
Se la parte omogenea come in questo caso, ha $Delta<0$ allora la soluzione di essa è:
$e^(alphax)(c_1Acosbetax+c_2Bsenbetax)$
$alpha=-b/2$ e $beta=sqrt(-Delta)/2$
Adesso guardo la non omogenea. Prendo come esempio sempre quello dell'esercizio, e vedo che è in forma $e^xsenbeta_1x$
Io per vedere se il $senbeta_1x$ ha risonanza, guardo se $beta=beta_1$ e in questo caso è giusto: $1=1$ per cui ha risonanza!
Se qualcuno ha capito come procedo, mi spieghi dove sbaglio.
"gugo82":
@Marcomix: Non capisco perchè stai cercando la soluzione nella forma [tex]$xe^x(A\cos x+B\sin x)$[/tex]... Secondo me c'è quel fattore [tex]$x$[/tex] davanti che è di troppo.
Infatti il numero complesso individuato dal termine noto, ossia [tex]$1+\imath$[/tex], non è radice del polinomio caratteristico associato all'equazione (le radici del quale sono [tex]$\pm \imath$[/tex]).
Ne consegue che le soluzioni vanno cercate nella forma [tex]$e^x (A\cos x +B\sin x)$[/tex].
[tex]$1+\imath$[/tex], equivale a $alpha+betai$? se è così $alpha$ a me risulta $0$, quindi $betai=i$, e coincide! no?
Se il termine noto è nella "forma comoda" [tex]$e^{\alpha x}\ (p(x)\ \cos \beta x +q(x)\ \sin \beta x)$[/tex] (con [tex]$\alpha ,\beta\in \mathbb{R}$[/tex] e [tex]$p,q$[/tex] polinomi), si dice che esso individua il numero complesso [tex]$\alpha +\beta\ \imath$[/tex].
Se il numero complesso [tex]$\alpha +\beta\ \imath$[/tex] individuato dal termine noto non è una radice del polinomio caratteristico associato alla EDO, allora la soluzione particolare della EDO completa è da ricercarsi nella forma [tex]$e^{\alpha x}\ (P(x)\ \cos \beta x+Q(x)\ \sin \beta x)$[/tex], ove [tex]$P,Q$[/tex] sono polinomi di grado uguale al massimo dei gradi di [tex]$p,q$[/tex].
Se invece il numero complesso [tex]$\alpha +\beta\ \imath$[/tex] individuato dal termine noto è una radice con molteplicità [tex]$\mu$[/tex] del polinomio caratteristico associato alla EDO, allora la soluzione particolare della EDO completa è da ricercarsi nella forma [tex]$e^{\alpha x}\ (P(x)\ \cos \beta x+Q(x)\ \sin \beta x)$[/tex], ove questa volta [tex]$P,Q$[/tex] sono polinomi di grado uguale alla somma di [tex]$\mu$[/tex] col massimo dei gradi di [tex]$p,q$[/tex].
Questa è la regola generale.
Ad ogni modo se n'è parlato millemila volte... Prova a fare una ricerca.
Se il numero complesso [tex]$\alpha +\beta\ \imath$[/tex] individuato dal termine noto non è una radice del polinomio caratteristico associato alla EDO, allora la soluzione particolare della EDO completa è da ricercarsi nella forma [tex]$e^{\alpha x}\ (P(x)\ \cos \beta x+Q(x)\ \sin \beta x)$[/tex], ove [tex]$P,Q$[/tex] sono polinomi di grado uguale al massimo dei gradi di [tex]$p,q$[/tex].
Se invece il numero complesso [tex]$\alpha +\beta\ \imath$[/tex] individuato dal termine noto è una radice con molteplicità [tex]$\mu$[/tex] del polinomio caratteristico associato alla EDO, allora la soluzione particolare della EDO completa è da ricercarsi nella forma [tex]$e^{\alpha x}\ (P(x)\ \cos \beta x+Q(x)\ \sin \beta x)$[/tex], ove questa volta [tex]$P,Q$[/tex] sono polinomi di grado uguale alla somma di [tex]$\mu$[/tex] col massimo dei gradi di [tex]$p,q$[/tex].
Questa è la regola generale.
Ad ogni modo se n'è parlato millemila volte... Prova a fare una ricerca.
oooooooooooooooooooh! finalmente ho capito! trascuravo la $e^(alpha x)$ in ogni modo. O meglio pensavo che la sua $alpha$ non servisse proprio a niente!
Come sempre, sei il migliore, perchè ti abbassi anche davanti alla gente 'gnorante
Come sempre, sei il migliore, perchè ti abbassi anche davanti alla gente 'gnorante
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