Equazione differenziale
l'esercizio incriminato è il 2 (punto 3), non riesco a riportarlo perchè è troppo lungo:
http://www.math.unipd.it/~marson/didatt ... 0/app2.pdf
premetto che avevo postato un problema simile un po' di tempo fa( https://www.matematicamente.it/forum/sol ... 61156.html ), al quale mi avevano risposto gugo82 e dissonance. solo che stavolta anzichè avere un sistema di ordine 1, ce l'ho di ordine 2.
nella soluzione all'esercizio ( http://www.math.unipd.it/~marson/didatt ... orapp2.pdf ), ho visto che sfrutta anche stavolta il fatto che le soluzioni sono localmente lipschitziane ($C^1$) in ogni intervallo finito, e quindi deduce che le soluzioni del pdC devono essere definite su tutto $RR$. il problema però è che il teorema di esistenza della soluzione si riferisce a sistemi di ordine 1, quindi non capisco: chi mi garantisce che la soluzione esista?
grazie in anticipo
http://www.math.unipd.it/~marson/didatt ... 0/app2.pdf
premetto che avevo postato un problema simile un po' di tempo fa( https://www.matematicamente.it/forum/sol ... 61156.html ), al quale mi avevano risposto gugo82 e dissonance. solo che stavolta anzichè avere un sistema di ordine 1, ce l'ho di ordine 2.
nella soluzione all'esercizio ( http://www.math.unipd.it/~marson/didatt ... orapp2.pdf ), ho visto che sfrutta anche stavolta il fatto che le soluzioni sono localmente lipschitziane ($C^1$) in ogni intervallo finito, e quindi deduce che le soluzioni del pdC devono essere definite su tutto $RR$. il problema però è che il teorema di esistenza della soluzione si riferisce a sistemi di ordine 1, quindi non capisco: chi mi garantisce che la soluzione esista?
grazie in anticipo
Risposte
La soluzione esiste perchè ogni problema di Cauchy d'ordine comunque elevato può essere ricondotto ad un problema di Cauchy per un sistema del primo ordine... Il trucco lo dovresti trovare a pagina [tex]$-2$[/tex] delle dispense.
Ad esempio in:
[tex]$\begin{cases} \ddot{x} +x=0 \\ x(0)=x_0 \\ \dot{x}(0)=\dot{x}_0\end{cases}$[/tex]
introduci la variabile ausiliaria [tex]$u=\dot{x}$[/tex] ed il tuo problema del second'ordine diventa:
[tex]$\begin{cases} \dot{u} +x=0 \\ \dot{x} =u \\ x(0)=x_0 \\ u(0)=\dot{x}_0\end{cases}$[/tex].
Se non ricordo male (ma devo dire che questi ricordi di Fisica Matematica sono abbastanza sbiaditi), se la guardi da un punto di vista più geometrico-fisico matematico, è come portare la EDO dal secondo fibrato tangente allo spazio delle configurazioni (in cui vivono le equazioni del secondo ordine che regolano l'evoluzione di un sistema dinamico) al fibrato tangente di uno spazio un po' più grosso (che è dove vivono le equazioni del primo ordine).
Ad esempio in:
[tex]$\begin{cases} \ddot{x} +x=0 \\ x(0)=x_0 \\ \dot{x}(0)=\dot{x}_0\end{cases}$[/tex]
introduci la variabile ausiliaria [tex]$u=\dot{x}$[/tex] ed il tuo problema del second'ordine diventa:
[tex]$\begin{cases} \dot{u} +x=0 \\ \dot{x} =u \\ x(0)=x_0 \\ u(0)=\dot{x}_0\end{cases}$[/tex].
Se non ricordo male (ma devo dire che questi ricordi di Fisica Matematica sono abbastanza sbiaditi), se la guardi da un punto di vista più geometrico-fisico matematico, è come portare la EDO dal secondo fibrato tangente allo spazio delle configurazioni (in cui vivono le equazioni del secondo ordine che regolano l'evoluzione di un sistema dinamico) al fibrato tangente di uno spazio un po' più grosso (che è dove vivono le equazioni del primo ordine).
eh, ci avevo pensato. ma non so come possa funzionare se le soluzioni sono vettori (nel tuo esempio è uno scalare).
nel caso in questione avrei:
$x'' = f_1(x,y)
$y'' = f_2(x,y)
allora dovrei porre $x'' = u', \, y'' = v'$. ma come cambiano $f_1$ e $f_2$? restano sempre espresse in funzione di x e y?
nel caso in questione avrei:
$x'' = f_1(x,y)
$y'' = f_2(x,y)
allora dovrei porre $x'' = u', \, y'' = v'$. ma come cambiano $f_1$ e $f_2$? restano sempre espresse in funzione di x e y?
Sì, i secondi membri rimangono come sono se non c'è dipendenza esplicita dalle derivate.
Nota: un sistema di EDO del secondo ordine di dimensione [tex]$N$[/tex] si trasforma in un sistema di EDO del primo ordine di dimensione [tex]$2N$[/tex].
Ma la tecnica è del tutto generale: introducendo un appropriato numero di variabili ausiliarie, puoi ricondurre un sistema di EDO d'ordine [tex]$n$[/tex] di dimensione [tex]$N$[/tex] ad un sistema del primo ordine di dimensione [tex]$nN$[/tex].
Nota: un sistema di EDO del secondo ordine di dimensione [tex]$N$[/tex] si trasforma in un sistema di EDO del primo ordine di dimensione [tex]$2N$[/tex].
Ma la tecnica è del tutto generale: introducendo un appropriato numero di variabili ausiliarie, puoi ricondurre un sistema di EDO d'ordine [tex]$n$[/tex] di dimensione [tex]$N$[/tex] ad un sistema del primo ordine di dimensione [tex]$nN$[/tex].
d'accordo, devo pensarci meglio perchè mi resta qualche dubbio, in caso ti faccio sapere.
grazie
grazie
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