Equazione differenziale

[qwert90]

salve devo risovere l'esercizio:

$y''+y=1/(senx)$

la soluzione della omogenea è $y=c_1cosx+c_2senx$

mente per l'integrale della completa... devo per forza applicare il metodo di lagrange vero?

l'unica cosa è che no riesco a risolvere il sistema "associato" a tale metodo....
(anche perchè mi verrebbe impossibile)

come devo fare ??
grazie mille...

[pater46]

Provato a risolvere il sistema col metodo di cramer?

[qwert90]

è quello che ho cercato di fare ... allora il sistema associato al metodo di lagrange sarebbe

$\{(\gamma_1'(x)cosx + \gamma_2'(x)senx = 0),(-\gamma_1'(x)senx + \gamma_2'(x)cosx = 0),(-\gamma_1(x)cosx - \gamma_2'(x)senx = 1/(senx)):}$

è questo il sistema pater 46? oppure ho sbagliato in qualche cosa?

ecco a me sembra non risolubile in generale...
non riesco ... qualche dritta??
grazie per l'aiuto

[pater46]

Mmm.. il sistema sarebbe composto solo dalle prime due equazioni che hai scritto, l' $1/sinx$ sarebbe il termine noto della seconda equazione.

Comunque il metodo che ti dicevo io non necessita del sistema. Ti calcoli il wronskiano e poi utilizzi il metodo di cramer ( algebra ). Le soluzioni dovrebbero essere:

$\gamma_1 = ln|sinx|$
$\gamma_2 = -x$

[qwert90]

è vero si le soluzioni son queste... !!!
ma puoi spiegarmi un po meglio i passaggi che hai fatto?? almeno cosi capisco un pò
grazie mille cmq pater46

[antofilo-votailprof]

scusate se mi intrometto..mi potete spiegare il metodo di lagrange?

AAnto

[pater46]

Allora. Il metodo di lagrange ( o variazione delle costanti ) per sistemi grandi è di più rapida risoluzione attraverso il metodo di cramer. QUesto consiste in:

Calcolarsi il wronskiano ( il determinante del sistema composto nella prima riga dalle soluzioni della omogenea, e nella seconda riga la derivata dei membri della prima riga. ).

Nel tuo caso $ W(x) = | ( cosx , sinx ),( -sinx , cosx ) | = 1 $

Ora per trovarti le soluzioni devi sostituire alla i-esima colonna la colonna delle soluzioni, calcolarti il determinante e dividere il tutto per il wronskiano.
$ \gamma_1'(x) = \frac{| ( 0 , sinx ),( 1/sinx , cosx ) |}{ W(x) } = -1 $

$ \gamma_2'(x) = \frac{| ( cosx , 0 ),( -sinx , 1/sinx ) |}{ W(x) } = cotanx $

così seguono le due funzioni di cui sopra.

[qwert90]

GRAZIE pater 46!
sei stato molto chiaro
solo un'altra domanda:
ma in generale questo (chiamiamolo) "metodo del wronskiano/cramer", usato quando si vuole applicare il metodo di lagrange, posso applicarlo anche per sistemi non grandi, quindi anche per sistemi piccoli??

[pater46]

Come abbiamo fatto ora, è una matrice 2x2, non è grande!

Per le equazioni del primo ordine invece non ve ne è necessità, basta derivare una volta e sostituire nell'equazione completa!

Se fosse stata del terzo ordine, invece, ci sarebbero state 3 soluzioni della caratteristica, e quindi la matrice corrispondente al sistema sarebbe stata 3x3, e si doveva derivare sino alla derivata seconda.

[qwert90]

Grazie mille ancora